§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

§ 71. Проблема возможности дескриптивной эйдетики переживаний

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Вышемы не раз прямо называли феноменологиюдескриптивной наукой. И тут вновь встаетодин фундаментальный методическийвопрос и возникает сомнение, воспрещающеенетерпеливое проникновение в новуюобласть. Верноли ставить перед феноменологией лишьцели описания, дескрипции? Дескриптивнаяэйдетика, — может быть, это вообщечто-то несообразное?

Мотивытаких вопросов слишком близко затрагиваютвсех нас.

Кто, подобно нам, так сказать,ощупью находит путь в новую эйдетическуюдисциплину, спрашивая, какого же родаисследования возможны здесь, с чегоследует начинать, каким методам следовать,тот непроизвольно обращается в сторонупрежних высокоразвитых эйдетическихдисциплин, то есть в особенности дисциплинматематических, прежде всего геометриии арифметики.

Однако мы тут же замечаем,что в нашем случае эти дисциплины вовсене призваны к руководству, потому чтов них все обстоит существенно иначе.

Для того же, кто еще недостаточно знакомс подлинно феноменологическим анализомсущностей, здесь заключен известныйисточник опасности, заставляющийусомниться в возможности феноменологиикак науки, поскольку сейчас лишьматематические дисциплины в состояниидейственно репрезентировать идеюнаучной эйдетики, поначалу кажетсядалекой мысль о возможности совершенноиначе устроенных эйдетических дисциплин,не математических и по всему своемутеоретическому типу резко отличающихсяот известных наук. Итак, если общиерассуждения и расположили кого-то впользу постулата феноменологическойэйдетики, первый же неудачный опытсоздания чего-либо вроде математикифеноменов может побудить его оставитьсамую идею феноменологии. Но вот этобыло бы уж совсем несуразно! Нам необходимов самом общем виде прояснить спецификуматематических дисциплин в противоположностьучению о сущности переживаний а тем самым прояснить, что же это,собственно, за цели и методы, которыеякобы принципиально неприложимы к сферепереживания.

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Начнемс того, что разграничим материальные иформальные сущности и науки о сущностях.Мы можем сразу же оставить в сторонеформальные науки, а тем самым и всюсовокупность формальных математическихдисциплин, поскольку феноменология,очевидно, принадлежит к числу материальныхэйдетических наук.

Если вообще методическидопустимо руководствоваться аналогией,то таковая заявит о себе наиболееэнергично, когда мы, ограничившисьматериальными математическимидисциплинами, например геометрией,спросим конкретнее, должно ли иливозможно ли конституировать феноменологиюкак «геометрию»переживаний.

Чтобыдостичь здесь желаемой ясности усмотрения,необходимо держать перед глазаминекоторые важные положения общей теориинауки.68

Каждаяиз теоретических наук объединяет вцелое некую идеально замкнутуюсовокупность, соотнося ее с известнойобластью познания, которая в свою очередьопределяется каким-либо высшим родом.

Решительное единство науки мы обретаемлишь через обращение к предельно высшемуроду, то есть к соответствующему регионус его региональными родовыми компонентами— к высшим родам, объединяющимся и,возможно, основывающимся друг на другев регионе рода.

Строение наивысшегоконкретного рода (региона) из отчастидизъюнктных, отчасти фундированныхдруг в друге (и, таким образом, охватывающихдруг друга) наивысших родов соответствуетстроению относящихся сюда конкретностейиз отчасти дизъюнктных, отчастифундированных друг в друге низшихдифференций; такова, например, временная,пространственная и материальнаяопределенность вещи. Каждому регионусоответствует региональная онтологияс целым рядом самостоятельных, замкнутыхв себе, и, возможно, опирающихся друг надруга региональных наук, — каждаятакая наука и отвечает одному из наивысшихродов, сходящихся в единстве региона.Подчиненным родам соответствуют простодисциплины или так называемые теории, —так, роду «конические сечения» отвечаеттеория конических сечений. Такаядисциплина понятным образом лишенаполной самостоятельности — лишенапостольку, поскольку она по природевещей вынуждена в своих выводах и вобосновании их располагать совокупнымфундаментом сущностных выводов,образующим единство в соответствующемему высшем роде.

Взависимости от того, региональны ли(конкретны ли) наивысшие роды или же онипросто компоненты региональных родов,наукибывают конкретными или абстрактными. Такое разделение, очевидно, соответствуетразделению на конкретные и абстрактныероды вообще.

69Данной области в соответствии сосказанным принадлежат либо конкретныепредметы, как в эйдетике природы, либоабстрактные, как например, пространственныефигуры, временные и динамическиеобразования.

Сущностная соотнесенностьвсех абстрактных родов с конкретнымии, в конце концов, с региональными задаетсущностную соотнесенность всехабстрактных дисциплин и полновесныхнаук с дисциплинами и науками конкретными,региональными.

Междутем параллельно разделению эйдетическихнаук происходит разделение наук,основанных на опыте. Они в свою очередьчленятся по регионам.

Так, к примеру, мыимеем одно физическое естествознание,а все отдельные науки о природе — этособственно дисциплины; единство импридает солидный запас не толькоэйдетических, но и эмпирических законов,относящихся к физической природе вообще,до всякого разделения ее на природныесферы.

Вообще же и различные регионымогут соединяться между собой эмпирическимиустановлениями, как, например, регионфизического и регион психического.

Еслимы взглянем теперь на известные намэйдетические науки, то нам бросится вглаза, что они неследуют описательным методам, то есть, к примеру, геометрия не схватываетв единичных интуициях, не описывает ине упорядочивает в классификацияхнизшие эйдетические дифференций, тоесть бесчисленное множество фигур,какие можно изобразить в пространстве,то есть поступает не так, как дескриптивныенауки о природе поступают с эмпирическимиприродными образованиями. Наоборот,геометрия фиксирует лишь немногие видыосновных фигур, а также идеи тела,плоскости, точки, угла и т. д. — тесамые, которые играют определяющую рольи в «аксиомах». С помощью аксиом, то естьпервоначальных сущностных законов,геометрия оказывается в состоянии чистодедуктивно выводить все «существующие» в пространстве, т. е.идеально возможные пространственныефигуры и все принадлежащие к нимсущностные отношения, производя это вформе точно определенных понятий,репрезентирующих сущности, в основномчуждые нашей интуиции. Сущность областигеометрии и устроена, по мере ее рода,так, и так устроена чистая сущность еепространства, что геометрия может бытьвполне уверена в действительном и точномвладении всеми своими возможностями,согласно ее методу. Другими словами,многообразие пространственных фигурвообще обладает замечательнойфундаментальной логической особенностью,для которой мы вводим наименование«дефинитного»многообразия, или же «математическогомногообразия в точном смысле слова».

Такоемногообразие характеризуется тем, чтоконечноечисло почерпаемых в сущности соответствующейобласти понятий и теоремполностью и однозначно, по способу чистоаналитической необходимости, определяетсовокупность всех возможных внутриэтой области образований, так что внутри этой области впринципе совсем не остается открытыхвопросов.

Поэтомумы может сказать и так: подобноемногообразие обладает особо отмеченнымсвойством быть математическиисчерпывающе дефинируемым.

«Дефинируемость» заключена в системе аксиоматическихпонятий и аксиом, а «математически-исчерпывающее»— в том, что дефиниционные утверждения,соотносимые с многообразием, имплицируютпредельно мыслимую предопределенность— не остается ничего, что не получалобы определения.

Эквивалентпонятия дефинитного многообразиязаключается также и в следующихположениях:

Всякоевысказывание, образуемое из отмеченныхаксиоматических понятий, согласно какимбы логическим формам то ни совершалось,всегда есть чисто формально-логическоеследствие аксиом или же точно такое желожное противоследствие, то естьследствие, формально противоречащееаксиомам, так что в таком случаеконтрадикторное противоречие — этоформально-логическое следствие аксиом.Внутриматематически-дефинитного многообразияпонятие «истинного» ипонятие«формально-логического следствия»эквивалентны, и точно так же эквивалентны понятие«ложного» и понятие «формальнологическогопротивоследствия аксиом».

Яназываю дефинитнойсистемой аксиом такую, которая чисто аналитическимспособом «исчерпывающе дефинирует»многообразие, как то описано выше; всякаядедуктивная дисциплина, опирающаясяна подобную систему аксиом, естьдефинитная,или в точном смысле слова математическаядисциплина.

Вседефиниции продолжают существовать итогда, когда мы оставляем в полнойнеопределенности материальные различениявнутри многообразия, то есть производимформализующее обобщение. Тогда системааксиом преобразуется в системуаксиоматических форм, многообразие —в форму многообразия, дисциплина,соответствующая такому многообразию,в форму дисциплины.70

Источник: https://studfile.net/preview/9650688/page:61/

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Эдмунд Гуссерль

Идеичистой феноменологии и феноменологической философии

Книга I. Общее введение в чистуюфеноменологию

(пер. снем. А.В. Михайлова)

Источник сканирования: Гуссерль Э. Идеи чистойфеноменологии и феноменологической философии. Т.I / пер. с нем. А.В. Михайлова. — М.: ДИК, 1999. —336.

Введение 19

Книгапервая ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ В ЧИСТУЮ ФЕНОМЕНОЛОГИЮ

Разделпервый СУЩНОСТЬ И СУЩНОСТНОЕ ПОЗНАНИЕ

Главапервая ФАКТ И СУЩНОСТЬ

§ 1. Естественное познание и опыт25

§ 2. Факт. Неотделимость факта исущности 26

§ 3. Высматривание сущности ииндивидуальное созерцание 28

§ 4. Высматривание сущности ифантазия. Познание сущности независимо от любого познания фактов 30

§ 5.Суждение о сущностях и суждения эйдетической всеобщности 31

§ б. Некоторыеиз основных понятий. Всеобщность и необходимость 33

§ 7. Наукио фактах и науки о сущностях 34

§ 8.Отношения зависимости между наукой о фактах и наукой о сущностях 36

§ 9.Регион и региональная эйдетика 37

§ 10.Регион и категория. Аналитический регион и его категории 38

§ 11.Синтактические предметности и последние субстраты. Синтактические категории 41

§ 12. Роди вид 43

§ 13.Генерализация и формализация 44

§ 14.Категории субстрата. Сущность субстрата и τόδε 45

§ 15.Самостоятельные и несамостоятельные предметы. Конкрети индивид 46

§ 16.Регион и категория в содержательной сфере. Синтетическое познание a priori 48

§ 17.Завершение логических рассуждении 49

Глававторая НАТУРАЛИСТИЧЕСКИЕ ЛЖЕИСТОЛКОВАНИЯ

§ 18. Введение в критические дискуссии50

§ 19. Отождествление опыта и акта,дающего из самого первоисточника, в эмпиризме 52

§ 20. Эмпиризм — это скептицизм 54

§ 21. Неясное на стороне идеализма56

§ 22. Упрек в Платоновом реализме.Сущность и понятие 57

§ 23. Спонтанность идеации, сущностьи факт 59

§ 24. Принцип всех принципов 60

§ 25. Позитивист на практике вкачестве естествоиспытателя, естествоиспытатель в рефлексии в качествепозитивиста 61

 § 26. Науки с догматической и науки с философской установкой 63

Раздел второй

ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕРАССУЖДЕНИЕ

Главапервая ТЕЗИС ЕСТЕСТВЕННОЙ УСТАНОВКИ И ЕГО ВЫКЛЮЧЕНИЕ

§ 27. Мир естественной установки:я и мой окружающий мир 65

§ 28. Cogito. Мой естественный окружающий мир и идеальные окружающиемиры 67

§ 29. „Иные» субъекты Я иинтерсубъективный естественный окружающий мир 68

§ 30. Генеральный тезисестественной установки 69

§ 31. Коренное изменениеестественного тезиса. „Выключение», „выведение за скобки» 70

§ 32. Феноменологическая эпохе 72

Глававторая СОЗНАНИЕ И ЕСТЕСТВЕННАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

§ 33. Предварительные указания на„чистое», или „трансцендентальное сознание»как на феноменологическийостаток 74

§ 34. Сущность сознания в качестветемы 76

§ 35. Cogito в качестве „акта». Модификация в направлениинеактуальности 77

§ 36. Интенциональное переживание.Переживание вообще 80

§ 37. „Направленность-на»чистого Я в cogito исхватывающее принятие к сведению 81

§ 38. Рефлексия над актами.Имманентные и трансцендентные восприятия 83

§ 39. Сознание и естественнаядействительность. „Наивный» человек с его постижением 85

§ 40. „Первичные» и„вторичные» качества. Вещь, данная в своей живой телесности — „простоеявление» „физически истинного» 87

§ 41. Реальная наличностьвосприятия и ее трансцендентный объект 88

§ 42. Бытие как сознание и бытиекак реальность. Принципиальное различие способов созерцания 91

§ 43.Разъяснение принципиального заблуждения 93

§ 44.Исключительно феноменальное бытие трансцендентного, абсолютное бытиеимманентного 95

§ 45.Невоспринятое переживание, невоспринятая реальность 98

§ 46.Несомненность имманентного — сомнительность трансцендентного восприятия 100

Глава третья ОБЛАСТЬ ЧИСТОГО СОЗНАНИЯ

§ 47. Мирестества как коррелят сознания 103

§ 48. Логическаявозможность и конкретная противосмысленность мира вне пределов нашего мира 105

§ 49.Абсолютное сознание как остающееся после уничтожения мира 106

§ 50.Феноменологическая установка и чистое сознание как поле феноменологии 109 § 51.Значение предварительных трансцендентных рассуждении 111

§ 52. Дополнения.Физическая вещь и „неведомая причина явлений» 113

§ 53.Животные существа и психологическое сознание 120

§ 54.Продолжение. Трансцендентное психологическое переживание случай но иотносительно, трансцендентальное переживание необходимо и абсолютно 122

§ 55.Заключение. Любая реальность суща через „наделение смыслом». Отнюдь не„субъективный идеализм» 123

Главачетвертая ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ

§ 56.Вопрос об объеме феноменологической редукции. Науки о природе и науки о духе125

§ 57.Вопрос о выключении чистого „я» 126

§ 58.Выключение трансцендентности бога 127

§ 59.Трансцендентность эйдетического. Выключение чистой логики как mathesis universalis. Феноменологическая норма 129

§ 60. Выключениематериально-эйдетических дисциплин 130

§ 61.Методологическое значение систематики феноменологических редукций 132

§ 62.Теоретико-познавательные предзнаменования. „Догматическая» ифеноменологическая установка 134

Раздел третий

ВОПРОСЫМЕТОДИКИ И ПРОБЛЕМАТИКИ ЧИСТОЙ ФЕНОМЕНОЛОГИИ

Главапервая ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ

§ 63. Особое значение методическихсоображений дли феноменологии 137

§ 64. Самовыключениефеноменолога139

§ 65. Обратная возвратнаясоотнесенность феноменологии с самой собой 139

§ 66. Адекватное выражение ясныхданностей. Однозначные термины141

§ 67. Метод прояснения. Наделяющеесознание. „Близость» и „дальность» данностей 142

§ 68. Подлинные н неподлинныеступени ясности. Сущность нормального прояснения 144

§ 69. Метод совершенно ясногосхватывания сущности 145

§ 70. Метод прояснения сущности ироль восприятия в нем. Преимущественное

положениенескованной фантазии 146

§ 71.Проблема возможности дескриптивной эйдетики переживаний 149

§ 72.Конкретные, абстрактные, „математические» науки о сущности 150

§ 73.Применение к проблеме феноменологии. Описание и точное определение 153 § 74.Дескриптивные и точные науки 154

§ 75.Феноменология как дескриптивное учение о сущности чистых переживаний 156

Глававторая ВСЕОБЩИЕ СТРУКТУРЫ ЧИСТОГО СОЗНАНИЯ

§ 76. Темапоследующих изысканий 158

§ 77. Рефлексиякак фундаментальная особенность сферы переживания. Этюды рефлексии 160

§ 78.Феноменологическое изучение рефлексий переживания 164

§ 79.Критический экскурс. Феноменология и трудности „самонаблюдения» 167

§ 80.Сопряженность переживаний с чистым Я 175

§ 81.Феноменологическое время и сознание времени 177

§ 82.Продолжение. Троякий горизонт переживания, и одновременно он же в качествегоризонта рефлектируемого переживания 180

 § 83. Схватывание единого потока переживаниякак „идеи» 181

§ 84.Интенциональность как главная феноменологическая тема 183

§ 85.Сенсуальная «гиле» интенциональная «морфе» 187

§ 86.Функциональные проблемы 191

Глава третья НОЭСИС И НОЭМА

§ 87. Предварительные замечания194

§ 88.Реальные и интенциональные компоненты переживания. Ноэма 196

§ 89.Высказывания ноэматические и высказывания о действительности. Ноэма впсихологической сфере. Психолого-феноменологическая редукция 199

§ 90.„Ноэматический смысл» и различение „имманентных» и „действительныхобъектов» 200

§ 91.Перенос на предельно расширенную сферу интенционального 203

§ 92.Аттенционалъные сдвиги в поэтическом и ноэматическом аспекте 205

§ 93.Переход к ноэтически-ноэматическим структурам сферы высшего сознания 208

§ 94.Ноэсис и ноэма в области суждения 209

§ 95.Аналогичные различения в сфере души и воли 212

§ 96.Переход к последующим главам. Заключительные замечания 214

Глава четвертая К ПРОБЛЕМАТИКЕНОЭТИЧЕСКИ-НОЭМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР

§ 97. Гилетические и поэтическиемоменты в качестве реальных, ноэматические — в качестве нереальных моментовпереживания 216

§ 98. Способ бытия ноэмы. Учение оформах ноэс. Учение о формах ноэм 220

§ 99. Ноэматическое ядро и егохарактеристики в сфере актуализаций и реактуализаций 223

§ 100. Шкалапредставлений в ноэсисе и ноэме согласно закону сущности 225

§ 101.Характеристики ступеней. Разного рода «рефлексии» 226

§ 102.Переход к новым измерениям характеристик 227

§ 103.Характеристики верования и характеристики бытия 228

§ 104.Модальности доксы как модификации 229

§ 105.Модальность верования как верование, модальность бытия как бытие 231

§ 106.Утверждение и отрицание, а также их ноэматические корреляты 232

§ 107.Повторные модификации 233

§ 108.Ноэматические характеристики — отнюдь не определенности „рефлексии» 234 §109. Модификации нейтральности 235

§ 110.Нейтрализованное сознание и правосудие разума. Принимание 237

§ 111.Модификация нейтральности и фантазия 238

§ 112.Повторяемость модификации фантазии. Неповторяемость модификации нейтральности240

§ 113.Актуальные и потенциальные полагания 242

§ 114.Дальнейшее о потенциальности тезиса и модификации нейтральности 245

§ 115.Применения. Расширенное понятие акта. Совершения и копошения акта 249

§ 116. Переходк новым анализам. Фундируемые ноэсы и их ноэматические корреляты 251

§ 117.Фундируемые тезисы и завершение учения о модификации нейтрализации. Общеепонятие тезиса 254

§ 118.Синтезы сознания. Синтактические формы 258

§ 119.Преобразование актов политетических в монотетические 260

§ 120.Позициональность и нейтральность в сфере синтезов 262

§ 121.Доксические синтаксисы в сфере душевного и волевого 263

§ 122.Модусы совершения артикулируемых синтезов. „Тема» 265

§ 123.Запутанность и отчетливость как модусы совершения синтетических актов 267 §124. Ноэтически-ноэматический слой „логоса». Означивание и значение 268

§ 125.Модальности совершения в сфере логического выражения и метод прояснения 272

§ 126.Полнота состава и всеобщность выражения 273

§ 127.Выражение суждений и выражений ноэм душевного 274

Разделчетвертый РАЗУМ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

Главапервая НОЭМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И СОПРЯЖЕННОСТЬ С ПРЕДМЕТОМ

§128.Введение 277

§129. „» и „предмет»; содержание как „смысл» 279

§130. Ограничивание сущности „ноэматический смысл» 281

§131. „Предмет», „определимое Х в ноэматическом смысле» 282

§132. Ядро как смысл в модусе своей полноты 285

§ 133.Ноэматическое предложение. Тетические и синтетические предложения. Предложенияв области представлений 285

§ 134.Апофантическое учение о формах 287

§ 135.Предмет и сознание. Переход к феноменологии разума 290

Глававторая ФЕНОМЕНОЛОГИЯ РАЗУМА

§ 136.Первая из основных форм сознания разума: первозданно дающее „видение» 293

§ 137.Очевидность и усмотрение. „Первозданная» и „чистая», ассерторическаяи аподиктическая очевидность 296

§ 138.Адекватная и неадекватная очевидность 297

§ 139.Сплетенности всех видов разума. Истина — теоретическая, аксиологическая ипрактическая 300

§ 140.Подтверждение. Оправдание помимо очевидности. Эквивалентность позиционального инейтрального усмотрения 302

§ 141.Непосредственное и опосредованное полагание разума. Опосредованная очевидность304

§ 142.Тезис разума и бытие 306

§ 143.Адекватная данность вещи как идея в кантовском смысле 307

§ 144.Действительность и первозданно дающее сознание: заключительные определения 308

§ 145. Критическое к феноменологииочевидности 310

Главатретья СТУПЕНИ ВСЕОБЩНОСТИ ПРОБЛЕМ ТЕОРИИ РАЗУМА

§ 146.Наиболее общие проблемы 313

§ 147.Разветвления проблем. Формальная логика, аксиология и практика 314

§ 148.Проблемы формальной онтологии, относящиеся к теории разума 317

§ 149.Проблемы региональных онтологии, относящиеся к теории разума. Проблемыфеноменологического конституирования 319

§ 150.Продолжение. Регион „вещь» как трансцендентальная руководящая нить 323

§ 151.Слои трансцендентального конструирования вещи. Дополнения 326

§ 152.Перенос проблемы трансцендентального конституирования на другие регионы 327

§ 153.Полная протяженность трансцендентальной проблемы. Членение исследований 329

Источник: http://www.philosophy1.narod.ru/katr/husserl_idea1_00.html

Читать онлайн Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Книга 1 страница 43. Большая и бесплатная библиотека

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Выше мы не раз прямо называли феноменологию дескриптивной наукой. И тут вновь встает один фундаментальный методический вопрос и возникает сомнение, воспрещающее нетерпеливое проникновение в новую область. Верно ли ставить перед феноменологией лишь цели описания, дескрипции? Дескриптивная эйдетика, — может быть, это вообще что-то несообразное?

Мотивы таких вопросов слишком близко затрагивают всех нас.

Кто, подобно нам, так сказать, ощупью находит путь в новую эйдетическую дисциплину, спрашивая, какого же рода исследования возможны здесь, с чего следует начинать, каким методам следовать, тот непроизвольно обращается в сторону прежних высокоразвитых эйдетических дисциплин, то есть в особенности дисциплин математических, прежде всего геометрии и арифметики.

Однако мы тут же замечаем, что в нашем случае эти дисциплины вовсе не призваны к руководству, потому что в них все обстоит существенно иначе.

Для того же, кто еще недостаточно знаком с подлинно феноменологическим анализом сущностей, здесь заключен известный источник опасности, заставляющий усомниться в возможности феноменологии как науки, поскольку сейчас лишь математические дисциплины в состоянии действенно репрезентировать идею научной эйдетики, поначалу кажется далекой мысль о возможности совершенно иначе устроенных эйдетических дисциплин, не математических и по всему своему теоретическому типу резко отличающихся от известных наук. Итак, если общие рассуждения и расположили кого-то в пользу постулата феноменологической эйдетики, первый же неудачный опыт создания чего-либо вроде математики феноменов может побудить его оставить самую идею феноменологии. Но вот это было бы уж совсем несуразно! Нам необходимо в самом общем виде прояснить специфику математических дисциплин в противоположность учению о сущности переживаний а тем самым прояснить, что же это, собственно, за цели и методы, которые якобы принципиально неприложимы к сфере переживания.

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Начнем с того, что разграничим материальные и формальные сущности и науки о сущностях. Мы можем сразу же оставить в стороне формальные науки, а тем самым и всю совокупность формальных математических дисциплин, поскольку феноменология, очевидно, принадлежит к числу материальных эйдетических наук.

Если вообще методически допустимо руководствоваться аналогией, то таковая заявит о себе наиболее энергично, когда мы, ограничившись материальными математическими дисциплинами, например геометрией, спросим конкретнее, должно ли или возможно ли конституировать феноменологию как «геометрию» переживаний.

Чтобы достичь здесь желаемой ясности усмотрения, необходимо держать перед глазами некоторые важные положения общей теории науки.

Каждая из теоретических наук объединяет в целое некую идеально замкнутую совокупность, соотнося ее с известной областью познания, которая в свою очередь определяется каким-либо высшим родом.

Решительное единство науки мы обретаем лишь через обращение к предельно высшему роду, то есть к соответствующему региону с его региональными родовыми компонентами — к высшим родам, объединяющимся и, возможно, основывающимся друг на друге в регионе рода.

Строение наивысшего конкретного рода (региона) из отчасти дизъюнктных, отчасти фундированных друг в друге (и, таким образом, охватывающих друг друга) наивысших родов соответствует строению относящихся сюда конкретностей из отчасти дизъюнктных, отчасти фундированных друг в друге низших дифференций; такова, например, временная, пространственная и материальная определенность вещи. Каждому региону соответствует региональная онтология с целым рядом самостоятельных, замкнутых в себе, и, возможно, опирающихся друг на друга региональных наук, — каждая такая наука и отвечает одному из наивысших родов, сходящихся в единстве региона. Подчиненным родам соответствуют просто дисциплины или так называемые теории, — так, роду «конические сечения» отвечает теория конических сечений. Такая дисциплина понятным образом лишена полной самостоятельности — лишена постольку, поскольку она по природе вещей вынуждена в своих выводах и в обосновании их располагать совокупным фундаментом сущностных выводов, образующим единство в соответствующем ему высшем роде.

В зависимости от того, региональны ли (конкретны ли) наивысшие роды или же они просто компоненты региональных родов, науки бывают конкретными или абстрактными. Такое разделение, очевидно, соответствует разделению на конкретные и абстрактные роды вообще.

Данной области в соответствии со сказанным принадлежат либо конкретные предметы, как в эйдетике природы, либо абстрактные, как например, пространственные фигуры, временные и динамические образования.

Сущностная соотнесенность всех абстрактных родов с конкретными и, в конце концов, с региональными задает сущностную соотнесенность всех абстрактных дисциплин и полновесных наук с дисциплинами и науками конкретными, региональными.

Между тем параллельно разделению эйдетических наук происходит разделение наук, основанных на опыте. Они в свою очередь членятся по регионам.

Так, к примеру, мы имеем одно физическое естествознание, а все отдельные науки о природе — это собственно дисциплины; единство им придает солидный запас не только эйдетических, но и эмпирических законов, относящихся к физической природе вообще, до всякого разделения ее на природные сферы.

Вообще же и различные регионы могут соединяться между собой эмпирическими установлениями, как, например, регион физического и регион психического.

Если мы взглянем теперь на известные нам эйдетические науки, то нам бросится в глаза, что они не следуют описательным методам, то есть, к примеру, геометрия не схватывает в единичных интуициях, не описывает и не упорядочивает в классификациях низшие эйдетические дифференций, то есть бесчисленное множество фигур, какие можно изобразить в пространстве, то есть поступает не так, как дескриптивные науки о природе поступают с эмпирическими природными образованиями. Наоборот, геометрия фиксирует лишь немногие виды основных фигур, а также идеи тела, плоскости, точки, угла и т. д. — те самые, которые играют определяющую роль и в «аксиомах». С помощью аксиом, то есть первоначальных сущностных законов, геометрия оказывается в состоянии чисто дедуктивно выводить все «существующие» в пространстве, т. е. идеально возможные пространственные фигуры и все принадлежащие к ним сущностные отношения, производя это в форме точно определенных понятий, репрезентирующих сущности, в основном чуждые нашей интуиции. Сущность области геометрии и устроена, по мере ее рода, так, и так устроена чистая сущность ее пространства, что геометрия может быть вполне уверена в действительном и точном владении всеми своими возможностями, согласно ее методу. Другими словами, многообразие пространственных фигур вообще обладает замечательной фундаментальной логической особенностью, для которой мы вводим наименование «дефинитного» многообразия, или же «математического многообразия в точном смысле слова».

Такое многообразие характеризуется тем, что конечное число почерпаемых в сущности соответствующей области понятий и теорем полностью и однозначно, по способу чисто аналитической необходимости, определяет совокупность всех возможных внутри этой области образований, так что внутри этой области в принципе совсем не остается открытых вопросов.

Поэтому мы может сказать и так: подобное многообразие обладает особо отмеченным свойством быть математически исчерпывающе дефинируемым.

«Дефинируемость» заключена в системе аксиоматических понятий и аксиом, а «математически-исчерпывающее» — в том, что дефиниционные утверждения, соотносимые с многообразием, имплицируют предельно мыслимую предопределенность — не остается ничего, что не получало бы определения.

Эквивалент понятия дефинитного многообразия заключается также и в следующих положениях:

Всякое высказывание, образуемое из отмеченных аксиоматических понятий, согласно каким бы логическим формам то ни совершалось, всегда есть чисто формально-логическое следствие аксиом или же точно такое же ложное противоследствие, то есть следствие, формально противоречащее аксиомам, так что в таком случае контрадикторное противоречие — это формально-логическое следствие аксиом. Внутри математически-дефинитного многообразия понятие «истинного» ипонятие «формально-логического следствия» эквивалентны, и точно так же эквивалентны понятие «ложного» и понятие «формальнологического противоследствия аксиом».

Я называю дефинитной системой аксиом такую, которая чисто аналитическим способом «исчерпывающе дефинирует» многообразие, как то описано выше; всякая дедуктивная дисциплина, опирающаяся на подобную систему аксиом, есть дефинитная, или в точном смысле слова математическая дисциплина.

Источник: https://dom-knig.com/read_239077-43

Методика формирования понимания абстрактного числа

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Эльмира Искалиева
Методика формирования понимания абстрактного числа

«Методика формирования понимания абстрактного числа».

Введение

Дошкольное детство является важным и благоприятным периодом для развития математических представлений. От того, как заложены элементарные математические представления, в значительной мере зависит весь дальнейший путь математического развития ребенка.

Понятие развития математических способностей включает взаимосвязанные и взаимообусловленные представления о пространстве, форме, величине, времени, количестве, их свойствах и отношениях, которые необходимы для формирования в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы.

По словам Л. С. Выготского, научные понятия не усваиваются и не заучиваются ребенком, не берутся памятью, а возникают и складываются с помощью величайшего напряжения всей активности его собственной мысли. Основные логические структуры мышления формируются в возрасте от 5 до 11 лет.

При этом именно в математике заложены возможности для развития мышления детей, формирования и развития его логических структур. Результатом обучения математике являются не только знания, но и определенный стиль мышления.

Дети дошкольного возраста спонтанно проявляют интерес к математическим категориям: количество, форма, время, пространство, которые помогают им лучше ориентироваться в вещах и ситуациях, упорядочивать и связаны их друг с другом, способствуют формированию понятий.

Элементарные математические представления складываются у детей рано, т. к. речь изобилует математическими понятиями: круг, шар, квадрат, угол, прямая, кривая и т. д. уже к четырем годам у дошкольников есть некоторый «багаж» элементарных математических представлений, который необходимо обобщить и систематизировать.

I Формирование математических представлений у дошкольников

1.1. Особенности формирования математических представлений у дошкольников

Мы часто наблюдаем такую картину, если малышу часто читали одну и ту же книжку, то он её так хорошо запоминает, что пересказывает наизусть, переворачивая в нужном месте листы. Со стороны может показаться, что он умеет читать. Но стоит дать ему незнакомый текст, и ясно, что это не так. Со счетом происходит похожая история.

Некоторые вещи, очевидные для взрослого, для ребенка являются загадкой. Так исследования знаменитого психолога Ж. Пиаже показали, что маленькие дети не понимают, что количество воды будет одним и тем же и в узком стакане, где уровень воды поднимается высоко, и в широком, где уровень воды низок.

Они не понимают этого даже тогда, когда воду переливают в их присутствии, и они видят, что её количество не уменьшилось и не увеличилось.

Если малышу предложить сравнить несколько крупных предметов с аналогичными маленькими предметами, и спросить каких по количеству предметов больше, он будет показывать на большие предметы, даже, если их количество явно меньше.

Мало того, если перед ним разложить несколько предметов одинаковой формы, а затем раздвинуть эти предметы так, чтобы они занимали большую площадь, при этом, задав вопрос, предметов стало больше, меньше или осталось столько же, он будет утверждать, что количество их увеличилось.

Некоторые дети, заучив порядковый счет, не умеют правильно пересчитывать, то есть каждому номеру ставить в соответствие последовательно один предмет. Возникают и затруднения, если уже от заданного количества требуется продолжить счет. Все эти трудности говорят о еще несформированном понятии числа, над которым следует работать. В противном случае данное понятие может не сформироваться и в первом классе, что значительно затормозит процесс усвоения предмета математики. Проверить, умеет ли ребенок считать осознанно, можно с помощью несложного теста:

1. Положите перед ребенком 2 яблока и кучку из трех горошин. Спросите, чего больше яблок или горошин?

2. Взрослый хлопает в ладоши, а ребенок, при каждом хлопке откладывает по одной пуговице.

3. Попросите принести ребенка столько же игрушек, сколько у него в руках карандашей, при этом, не пересчитывая ни то, ни другое. А теперь попросите каждой игрушке раздать по карандашу.

4. Возьмите 7-10 монет одинакового достоинства. Выложите их перед ребенком, но не просите пересчитывать. Раздвиньте при нем монеты так, чтобы они занимали большую площадь. Спросите, монет стало больше, меньше или осталось столько же?

5. Взрослый показывает и говорит ребенку: «Здесь четыре карандаша», затем добавляет еще три и спрашивает: сколько получится всего карандашей?

Но даже, если ребенок справляется со всеми заданиями, полное понимание понятия числа может так и не прийти, если он не осознает, что данное математическое понятие является абстракцией.

Часто ребенку и не приходится задумываться над этим, ведь взрослый заведомо предлагает ему пересчитать конкретные единичные предметы. Выше уже говорилось, что простой счет не является гарантией развития математических способностей.

Понимание же того, что в единицу счета может входить несколько объектов, или, что одному объекту может соответствовать разное число, в зависимости от используемой мерки, подводит ребенка к более глубокому пониманию числа и способствует уже развитию у него предпосылок математического мышления. Такое правильное введение числа, и, к тому же, преподносимое правополушарным способом, то есть образно, к сожалению, большая редкость. В основном обучение сводится к практическому счету, и даже, если ребенок пересчитывает большие и маленькие предметы, а затем их сравнивает по количеству, а не по величине, то делает это не из-за понимания, а потому что его так научили. Работа над преодолением признака Пиаже на примере пластилина, воды, сыпучего материала, исследование понятия числа с помощью мерок, образная подача абстрактности числа, вот что способствует развитию математического мышления. Но добиться развития предпосылок математического мышления одним только изучением понятия числа и обучением осознанному счету невозможно, ведь предмет математики является более широким понятием, включающим в себя много направлений.

1.2 Требования к методике преподавания математики дошкольникам в современных ДОУ

Современная программа по математике направлена на развитие и формирование математических представлений и способностей, логического мышления, умственной активности, смекалки, то есть умения делать простейшие суждения, пользоваться грамматически правильными оборотами речи.

В математической подготовке предусмотренной программой, наряду с обучением детей счету, развитием представлений о количестве и числе в пределах первого десятка, делению предметов на равные части большое внимание уделяется операциям с наглядным материалом, проведению измерений с помощью условных мерок, определению объема жидких и сыпучих тел, развитию глазомера ребят, их представлений о геометрических фигурах, о времени, формированию понимания пространственных отношений. Когда ребёнок видит, ощущает, щупает предметы, обучать его математике значительно легче, так как с помощью него ребёнок лучше воспринимает, запоминает, усваивает знания. Наглядно-дидактический материал по формированию элементарных математических представлений активизирует, заинтересовывает детей, даёт им положительный эмоциональный настрой.

Наглядно-дидактические средства являются орудием труда педагога и инструментом познавательной деятельности детей. Следует различать понятия «наглядность» и «дидактические средства». Дидактические – более широкое понятие. Сюда входят совокупность предметов, явлений, знаки, модели действия, слово. Дидактические средства выполняют следующие функции:

-реализуют принцип наглядности;

-переводят абстрактные математические понятия в доступную для детей форму;

-способствуют накоплению чувственного, логико-математического опыта и овладению способами действий;

-увеличивают объём самостоятельной деятельности детей; интенсифицируют процесс обучения.

Дидактические средства можно разделить на следующие группы:

— комплекты наглядно-дидактического материала;

— оборудование для самостоятельных игр и занятий детей;

— пособия для воспитателей (учебники, методическая литература, конспекты, сборники дидактических игр и др.);

— учебно-познавательные книги для детей, тетради с печатной основой.

Значение раздаточного заключается, прежде всего, в том, что он даёт возможность придать процессу обучения действенный характер, включить ребёнка непосредственно в практическую деятельность.

Наглядность в математике характеризуется тем, что внимание детей обращается только на те особенности демонстрируемых материалов, которые являются объектом изучения в математике; постепенно наблюдается ослабление конкретного в предлагаемой наглядности (натуральный предмет – изображение предмета в виде картинки – чёрточка – число).

Большую помощь воспитателю оказывают цветные палочки Кюизенера помогают детям усвоить различные абстрактные понятия. Дети узнают, что у каждого цвета палочки своё число, усваивают правило построения числового ряда, состав числа из двух меньших чисел.

Палочки Кюизенера способствуют решению задачи на формирование понятий «левее», «правее», «между», позволяют моделировать числа, свойства, отношения, зависимости между ними с помощью цвета и длины. Они вызывают самостоятельность в поиске способов действия с материалом.

В работе по развитию интеллектуальных способностей детей хорошо использовать блоки Дьенеша. Блоки Дьенеша представляют собой набор их 48 логических блоков. В наборе нет ни одного одинакового блока.

В играх с логическими блоками используются карточки с символами свойств (цвет, форма, размер, толщина). На ряду с использованием карточек-символов, которые позволяют придумать с детьми разнообразные игры, можно предложить и логические кубики.

Своеобразие логических кубиков – это возможность «случайного» выбора свойств, а это всегда нравится детям.

Логические блоки Дьенеша способствуют развитию таких мыслительных операций, как классификация, группировка предметов по свойствам, исключение лишнего, анализ и синтез, дети учатся догадываться, доказывать.

Игра «Кубики-Хамелеон» развивает у детей умение сочетать и варьировать цвет и форму, что ведёт к созданию образа. В комплект игры входит 16 кубиков. Все кубики одинаковые по размеру, у каждого 3 грани, сходящиеся в одной вершине, окрашены одним цветом, а три следующие – другим цветом.

Сущность игры состоит в воспроизведении на плоскости построек по образцам. По собственному желанию, замыслу дети могут одну и ту же постройку варьировать многократно. При этом надо соблюдать архитектурную точность, правильность взгляда сбоку (слева или справа, правильность окраски спереди, сверху и сбоку.

Игра необходима всем детям, но особенно тем, у кого недостаточно развито образное мышление, умение осуществлять комбинаторные действия.

Из всего многообразия занимательного математического материала в дошкольном возрасте наибольшее применение находят дидактические игры. Дидактическая игра представляет сочетание наглядности, слово воспитателя и действий самих детей с игрушками, игровыми пособиями, предметами, картинками.

Наглядность в игре, прежде всего, и представлена в предметах, которыми играют дети, которые составляют материальный центр игры. Основное назначение дидактических игр – обеспечить упражняемость детей в различении, в выделении, назывании множеств предметов, чисел, геометрических фигур, направлений и т. д.

Каждая игра решает конкретную задачу совершенствования математических представлений (количественных, пространственных, временных).

Так игры «Найди недостающую фигуру», «Чем отличаются?», «Вычислительная машина» направлены на тренировку мышления и предполагают строгую логику действий.

Традиционно используются разнообразные развивающие игры (на плоскостное и объёмное моделирование, в которых дети не только выкладывают картинки, конструкции по образцам, но и самостоятельно придумывают, составляют силуэты. Это такие игры как «Танграм», «Пентамино», «Колумбово яйцо», «Волшебный круг» и др.

Каждая игра имеет свой комплект элементов, отличающих от элементов других игр, и обладает только ей присущими возможностями в создании силуэтов на плоскости.

Так, из деталей «Танграма» можно выкладывать силуэты животных, человека, предметы домашнего обихода, буквы, цифры; из «Колумбова яйца» — силуэты птиц, людей; а «Волшебный круг» даёт возможность составлять ракеты, человечков, птиц и другие фигуры.

Особое значение для развития математических способностей, интереса к математике имеют головоломки из объёмных фигур: «Змейка-Рубика», «Кубик Рубика», «Сложи узор», «Кубики для всех»; лабиринты; задачи-головоломки со счётными палочками. Игры развивают у детей настойчивость, умение сосредоточиться, логическое мышление.

Благодаря использованию наглядно-дидактического материала по математике дети имеют опыт освоения математических деятельностей (вычисления, измерения) и обобщённых представлений о форме, размере, пространственных и временных характеристиках; также у детей сложились обобщённые представления о числе. Дети проявляют интерес к логическим и арифметическим задачам, головоломкам; успешно решают логические задачи на обобщение, классификацию, сериацию.

Дети понимают абстрактные термины (число, время, самостоятельно выделяют характеристические свойства при группировке множеств, выделяют и понимают противоречия в ситуациях и находят им объяснения.

Заключение.

В раннем детстве происходит первое элементарное познание количества, являющееся необходимой ступенькой познания действительности. С первых дней жизни ребенок попадает в мир предметов, явлений, воспринимает разнообразные количества не только предметов, но и звуков, движений.

У малыша формируются хаотические, неупорядоченные представления о количестве.

Взрослые помогают систематизировать эти впечатления, учат детей различным действиям с отдельными предметами и с группами предметов, обогащают их речь специфическими словами, относящимися к нечисловой характеристике количеств и количественных отношений, учитывая особенности восприятия совокупностей.

При правильном обучении детей подводят к пониманию сущности итогового числа. Они начинают отличать итог счета от процесса счета и постепенно усваивают, что одним и тем же числом именуются равночисленные группы, а там, где совокупности неравные, называются разные числа.

Четырехлетние дети овладевают счетом в пределах пяти, а более старшие – десяти.

В основном дети у шести годам овладевают счетом до десяти, усваивают значение итогового числа, но у них сохраняется особенность допускать ошибки при определении количества, когда наглядные признаки (например, изменение расположения на столе, размеров предмета) препятствуют его правильному определению.

Вот почему очень важно начинать подготовительную работу уже в младшем возрасте. Детей следует упражнять в сравнении групп предметов разной формы, цвета, размеров, по-разному расположенных.

К шести годам дети начинают понимать: каждое последующее число больше предыдущего на единицу, каждое предыдущее меньше последующего на единицу. Дошкольники, усвоившие счет дискретных совокупностей, овладевают умением считать и группы предметов (1, 2, 3 пары).

В процессе развития счетной деятельности у детей постепенно формируется способность абстрактно понимать числа, происходит подготовка к вычислительной деятельности. В дальнейшем дошкольников знакомят с арифметическими действиями сложения и вычитания.

Умственное воспитание ребенка связано с его чувственным опытом, с развитием сенсорных процессов ощущения, восприятия, представления.

Чтобы восприятие было более полным, в нем должно участвовать одновременно несколько анализаторов, т. е. ребенок должен не только видеть и слышать, но и действовать с предметами — ощупывать, производить различные движения.

При формировании представлений о количестве особое значение следует придавать самостоятельным действиям ребенка, главное внимание обращать на развитие его сенсорики через организацию определенных пред-метных действий.

Необходимо учить детей действовать с предметами: переставлять их влево, вправо, собирать вместе, отбирать по размеру, цвету, форме. Эти действия способствуют накоплению сенсорного опыта о количествах различных предметов.

Организуя обучение детей, следует:

приучать дошкольников наблюдать за действиями взрослых с предметами, слушать, как словами характеризуются эти действия;

учить их действовать и сопровождать действия словами;

побуждать детей повторять за взрослыми сказанное о свойствах, качествах предметов.

Необходимый уровень знаний детей шестого года жизни:

Знать о числе и цифрах первого десятка. Понимать и уметь объяснять разницу между количественным и порядковым счетом.

Отсчитывать определенное количество предметов по образцу. Понимать, что количество не зависит от размеров предметов и расстояния между ними.

Знать количественный состав чисел 2 и 3 из единиц. Считать на ощупь и вслух в пределах пяти.

Источник: https://www.maam.ru/detskijsad/metodika-formirovanija-ponimanija-abstraktnogo-chisla.html

§ 72. Конкретные, абстрактные, „математические

§ 72. Конкретные, абстрактные, «математические» науки о сущности

Начнем с того, что разграничим материальные и формальные сущности и науки о сущностях. Мы можем сразу же оставить в стороне формальные науки, а тем самым и всю совокупность формальных математических дисциплин, поскольку феноменология, очевидно, принадлежит к числу материальных эйдетических наук.

Если вообще методически допустимо руководствоваться аналогией, то таковая заявит о себе наиболее энергично, когда мы, ограничившись материальными математическими дисциплинами, например геометрией, спросим конкретнее, должно ли или возможно ли конституировать феноменологию как „геометрию» переживаний.

Чтобы достичь здесь желаемой ясности усмотрения, необходимо держать перед глазами некоторые важные положения общей теории науки.

Каждая из теоретических наук объединяет в целое некую идеально замкнутую совокупность, соотнося ее с известной областью познания, которая в свою очередь определяется каким-либо высшим родом.

Решительное единство науки мы обретаем лишь через обращение к предельно высшему роду, то есть к соответствующему региону с его региональными родовыми компонентами — к высшим родам, объединяющимся и, возможно, основывающимся друг на друге в регионе рода.

Строение наивысшего конкретного рода (региона) из отчасти дизъюнктных, отчасти фундированных друг в друге (и, таким образом, охватывающих друг друга) наивысших родов соответствует строению относящихся сюда конкретностей из отчасти дизъюнктных, отчасти фундированных друг в друге низших дифференций; такова, например, временная, пространственная и материальная определенность вещи. Каждому региону соответствует региональная онтология с целым рядом самостоятельных, замкнутых в себе, и, возможно, опирающихся друг на друга региональных наук, — каждая такая наука и отвечает одному из наивысших родов, сходящихся в единстве региона. Подчиненным родам соответствуют просто дисциплины или так называемые теории, — так, роду „конические сечения» отвечает теория конических сечений. Такая дисциплина понятным образом лишена полной самостоятельности — лишена постольку, поскольку она по природе вещей вынуждена в своих выводах и в обосновании их располагать совокупным фундаментом сущностных выводов, образующим единство в соответствующем ему высшем роде.

В зависимости от того, региональны ли (конкретны ли) наивысшие роды или же они просто компоненты региональных родов, науки бывают конкретными или абстрактными. Такое разделение, очевидно, соответствует разделению на конкретные и абстрактные роды вообще.

Данной области в соответствии со сказанным принадлежат либо конкретные предметы, как в эйдетике природы, либо абстрактные, как например, пространственные фигуры, временные и динамические образования.

Сущностная соотнесенность всех абстрактных родов с конкретными и, в конце концов, с региональными задает сущностную соотнесенность всех абстрактных дисциплин и полновесных наук с дисциплинами и науками конкретными, региональными.

Между тем параллельно разделению эйдетических наук происходит разделение наук, основанных на опыте. Они в свою очередь членятся по регионам.

Так, к примеру, мы имеем одно физическое естествознание, а все отдельные науки о природе — это собственно дисциплины; единство им придает солидный запас не только эйдетических, но и эмпирических законов, относящихся к физической природе вообще, до всякого разделения ее на природные сферы.

Вообще же и различные регионы могут соединяться между собой эмпирическими установлениями, как, например, регион физического и регион психического.

Если мы взглянем теперь на известные нам эйдетические науки, то нам бросится в глаза, что они не следуют описательным методам, то есть, к примеру, геометрия не схватывает в единичных интуициях, не описывает и не упорядочивает в классификациях низшие эйдетические дифференций, то есть бесчисленное множество фигур, какие можно изобразить в пространстве, то есть поступает не так, как дескриптивные науки о природе поступают с эмпирическими природными образованиями. Наоборот, геометрия фиксирует лишь немногие виды основных фигур, а также идеи тела, плоскости, точки, угла и т.д. — те самые, которые играют определяющую роль и в „аксиомах». С помощью аксиом, то есть первоначальных сущностных законов, геометрия оказывается в состоянии чисто дедуктивно выводить все „существующие» в пространстве, т. е. идеально возможные пространственные фигуры и все принадлежащие к ним сущностные отношения, производя это в форме точно определенных понятий, репрезентирующих сущности, в основном чуждые нашей интуиции. Сущность области геометрии и устроена, по мере ее рода, так, и так устроена чистая сущность ее пространства, что геометрия может быть вполне уверена в действительном и точном владении всеми своими возможностями, согласно ее методу. Другими словами, многообразие пространственных фигур вообще обладает замечательной фундаментальной логической особенностью, для которой мы вводим наименование „дефинитного» многообразия, или же „математического многообразия в точном смысле слова».

Такое многообразие характеризуется тем, что конечное число почерпаемых в сущности соответствующей области понятий и теорем полностью и однозначно, по способу чисто аналитической необходимости, определяет совокупность всех возможных внутри этой области образований, так что внутри этой области в принципе совсем не остается открытых вопросов.

Поэтому мы может сказать и так: подобное многообразие обладает особо отмеченным свойством быть математически исчерпывающе дефинируемым.

„Дефинируемость» заключена в системе аксиоматических понятий и аксиом, а „математически-исчерпывающее» — в том, что дефиниционные утверждения, соотносимые с многообразием, имплицируют предельно мыслимую предопределенность — не остается ничего, что не получало бы определения.

Эквивалент понятия дефинитного многообразия заключается также и в следующих положениях:

Всякое высказывание, образуемое из отмеченных аксиоматических понятий, согласно каким бы логическим формам то ни совершалось, всегда есть чисто формально-логическое следствие аксиом или же точно такое же ложное противоследствие, то есть следствие, формально противоречащее аксиомам, так что в таком случае контрадикторное противоречие — это формально-логическое следствие аксиом. Внутри математически-дефинитного многообразия понятие „истинного» ипонятие „формально-логического следствия» эквивалентны, и точно так же эквивалентны понятие „ложного» и понятие „формальнологического противоследствия аксиом».

Я называю дефинитной системой аксиом такую, которая чисто аналитическим способом „исчерпывающе дефинирует» многообразие, как то описано выше; всякая дедуктивная дисциплина, опирающаяся на подобную систему аксиом, есть дефинитная, или в точном смысле слова математическая дисциплина.

Все дефиниции продолжают существовать и тогда, когда мы оставляем в полной неопределенности материальные различения внутри многообразия, то есть производим формализующее обобщение. Тогда система аксиом преобразуется в систему аксиоматических форм, многообразие — в форму многообразия, дисциплина, соответствующая такому многообразию, в форму дисциплины.

Источник: http://www.adhdportal.com/book_3564_chapter_85__72.Konkretnye,_abstraktnye,_matematicheskie%22_nauki_o_sushhnosti.html

Scicenter1
Добавить комментарий