1.5. Философия и проблема обоснования математики

Философия и проблема обоснования математики: Философия математики является, с одной сторо­ны, разделом философии,

1.5. Философия и проблема обоснования математики
Философия математики является, с одной сторо­ны, разделом философии, а с другой — общей методологией мате­матики. Ее основные проблемы — определение сущности матема­тики, ее предмета и методов, места математики в науке и культуре. Методы философии математики — рефлексивный, проективный, нормативный.

Философия математики выполняет функцию про­гностической ориентации математики.

Вопрос о статусе математических объектов тесно связан с бо­лее общим вопросом о смысле существования в математике.

Ка­кие объекты допустимы в математике вообще? Для более глубоко­го выяснения этого вопроса обратимся к истории математики и истории философии [1].

Пифагореизм — первая философская теория математики — рас­сматривал математическое знание как необходимую основу вся­кого другого знания и наиболее истинную ее часть. Как философ­

ское течение пифагореизм выходит за рамки собственно филосо­фии математики, но тем не менее в центре его — определенное истолкование сути математического знания.

Истоки математики уходят в глубокую древность — к Египту и Вавилону.

Однако большинство историков науки относит появле­ние математики как теоретической дисциплины к более поздне­му, греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие довольно слож­ных и точных результатов, не найдено собственно математическо­го, дедуктивного рассуждения, т.е. вывода одних формул и правил на основе других, или математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг, осуществленный греческой математикой, заключается в идее доказательства, или дедуктивного вывода.

Греки заметили, что арифметические действия обладают осо­бой очевидностью, безусловной необходимостью, принудитель­ной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах, и истолковали это обстоятельство как проявление особого отношения чисел к истине. У пифагорей­цев философия превратилась в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности того или иного утверждения о ми­ре достигалось сведением его к числовой гармонии.

Ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над при­родой самой математической закономерности, истоками ее безус­ловной истинности. Однако у Платона мы находим уже некото­рую теорию на этот счет.

Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатления об истине са­мой по себе, которые душа получила, пребывая в более совершен­ном мире, мире идей.

Поэтому математическое познание есть просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения при­роды, а лишь видения разумом.

Математический атомизм существовал наряду с пифагорей­ской философией. Это более реалистическая (с современной точ­ки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкип­па и Демокрита.

Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов.

Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в гео­метрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неявно содержал в себе определенную антитезу пифа­гореизму.

Если для пифагорейцев математические объекты (чис- ла) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические зако­номерности выступают вторичными по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует ма­тематическому и определяет свойства математических объектов.

Эту линию продолжает Аристотель. Он отверг платоновский мир идей, а вместе с ним и нефизическое существование матема­тических объектов. Объекты математики для Аристотеля — мыс­ленное отвлечение от реальных вещей.

Взгляд на математические объекты как на отвлечения много­образия свойств реальных объектов типичен и для науки XVII—XVIII вв. Ньютон, например, истолковывает геометрию как «чистую математику», т.е. как абстрактную схему возможно­го механического движения. Такая трактовка математического существования вошла в противоречие с фактами.

Поэтому уже Лейбниц поставил вопрос, должна ли математическая абстрак­ция отражать непосредственную реальность. Математики стали постепенно осознавать, что математические образы имеют неко­торую автономию от физической реальности. Позже свои фило­софские взгляды на математику предлагали И. Кант (идея априо­ризма) и Г.

Кантор (представления об истине).

В начале XIX в. О. Коши ввел в математику теоремы существо­вания, которые ознаменовали новый этап в понимании статуса математического объекта.

В понимании математического сущест­вования на первый план стал выдвигаться логический момент, требование обосновать допустимость того или иного предположе­ния без ссылки на внешние эмпирические обстоятельства, но ис­ключительно на основе собственных математических определе­ний.

К концу XIX в. было уже понятно, что математика представля­ет собой особую науку, не связанную непосредственно с ка­кой-либо эмпирической реальностью. Она должна лишь удовле­творять требованию логической непротиворечивости.

Требования непротиворечивости определений математики декларативны до тех пор, пока не указаны эффективные способы обоснования этой непротиворечивости. Отсюда проистекает про­блема обоснования математики в XX в.

Одной из первых попыток обоснования математики в тот период была идея Кантора о том, что все существующие математические теории можно свести к разработанной им теории множеств. Сколь простой ни казалась логика проведения подобного рода теоретико-множественного обоснования математики, по ряду причин оно оказалось невоз­можным. Например, Б.

Рассел обнаружил логическое противоре­чие, выводимое им из определений исходных понятий теории множеств и основных ее предложений. Его суть заключалась в следующем.

Согласно основным принципам теории множеств, в эту теорию можно ввести такие объекты, как «множество всех множеств» и «множество всех множеств, не содержащих себя в ка­честве своего элемента».

В соответствии с данными принципами можно высказать суждение о том, что «множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента» принадлежит множеству всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Такое суждение не является ни истинным, ни ложным, что означает логическое противоречие (парадокс). Так как логи­чески противоречивая теория не могла быть положена в основу математики, то канторовское обоснование математики было от­вергнуто.

Подобного рода трудности, а также другие парадоксы теории множеств привели к кризису в обосновании математики. Выход из кризиса канторовского обоснования математики Б. Рассел и

А. Уайтхед видели в изменении гносеологических оснований мате­матики, т.е. в ограничении идеализации канторовскойтеории мно­жеств. Данное ограничение запрещало вводить такие объекты, как «множество, содержащее себя в качестве своего элемента».

В новой формулировке разрешалось вводить множество только в том слу­чае, если его элементами были объекты, имеющиетип, непосредст­венно предшествующий типу вводимого множества. Вследствие этого теория Рассела становилась теорией, изучающей предметы и множества, классифицируя их на типы, и получила название «тео­рия типов».

Эту теорию именуют также логикой, поскольку терми­ны теории множеств могут быть истолкованы как логические тер­мины. Данное направление получило название «логицизм».

Математика, построенная на основаниях логицизма, доволь­но сильно отличалась от обычной математики.

Во-первых, в силу ограничений гносеологических оснований из математики исключались целые разделы, которые играют в ней весьма суще­ственную роль.

Во-вторых, сама логицистская математика при­нимала неестественный вид. Например, для каждого типа надо было вводить по существу собственную арифметику.

Изменения гносеологических оснований теории множеств Кантора вели к исключению парадоксов, обнаруженных Рассе­лом и другими математиками, но метатеоретическими средствами было невозможно доказать непротиворечивость теорий типов.

Эти и другие причины привели научное сообщество к выводу, что теория типов не представляет удовлетворительных оснований для всей математики.

причина этого связана с гносеологиче­скими основаниями теории типов, вводящими идеализации, ко­торые сильно сужали предмет математики.

Формалистское направление предложило принципиально иной подход к обоснованию математики одного из основоположников в лице Д. Гильберта. С точки зрения формализма обоснование математической теории не должно зависеть от ее содержания, а опираться только на ее формы, т.е.

доказательство должно быть формальным (синтаксическим), а не семантическим. Одна­ко гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой по следующим причинам.

Во-первых, хотя че­рез форму теории и можно выражать ее содержание, но для неко­торых теорий, например таких, как арифметика натуральных чи­сел (теорема Гёделя о неполноте формализованной арифметики), его нельзя выразить полностью.

Во-вторых, оказалось невоз­можным с помощью средств гильбертовской математики доказать непротиворечивость арифметики чисто синтаксическим мето­дом.

Интуиционисты Г. Вейль и А. Гейтинг выдвинули критерий интуитивной ясности при оценке истинностных значений сужде­ний. Гносеологические основания интуиционистской математи­ки состояли в принятии принципов, допускающих построение математических объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости.

Под основанием математики интуиционисты понимали уда­ление из предмета математики всех тех объектов, существование которых предполагает сильные идеализации.

При таком усло­вии из предмета математики устраняются актуально бесконечные множества, но потенциально бесконечные множества остаются, их существование укладывается в рамки интуиционистских идеа­лизаций.

Главный недостаток интуиционистского обоснования математики критики интуиционизма видели в том, что при таком подходе сильно сужается предмет математики.

Все рассмотренные выше направления пытались обосновать математику только исходя из гносеологических предпосылок и исключали из математики все, что в эти рамки не укладывалось. А поскольку это вело либо к противоречиям, либо к сужению предмета, то в математике создавались критические ситуации.

Отечественная школа конструктивизма А.А. Маркова по- иному ставила вопрос обоснования математики. Конструктивизм видел свою задачу в выделении конструктивной части обычной математики и изучении ее в чистом виде. Это имело большое зна­чение в связи с развитием вычислительной математики.

Обосно­вание конструктивистской математики предполагало конструк­тивное построение самих математических теорий.

Сточки зрения конструктивных теорий обоснования далеко не вся классическая математика могла быть обоснована, но вопрос не ставился так, что неконструктивные части математики должны быть удалены из ма­тематики, поэтому их обоснование или отбрасывание не входило в задачу конструктивизма.

Таким образом, все рассмотренные направления в обоснова­нии математики исходили из принимаемыхтем или иным направ­лением идеализаций.

Различные направления в обосновании ма­тематики плодотворны постольку, поскольку они раскрывают разные стороны содержательной математики как живого расши­ряющегося знания.

Именно эти направления дали возможность выявить такую фундаментальную особенность математики, как неполнота формализации любых содержательных математиче­ских теорий. Различие между существующими обоснованиями математики обусловлено различным пониманием математиче­ского объекта.

Другая особенность математики, раскрываемая в процессе ее обоснования, состоит в том, что оправданно говорить о феномене «множественности математик».

Начиная с 1960-х гг. намечается тенденция к сдвигу проблема­тики обоснований математики в направлении задач, связанных с «машинной математикой».

Вследствие этого можно говорить о возникновении новой гносеологической ситуации.

Перспективы в развитии математики и уяснение ее оснований начинают зави­сеть от взаимодействия человека и машины, при котором возни­кают специфические критерии математического доказательства [2. С. 115-125].

Среди заметных тенденций в науке XX в.

необходимо также от­метить увеличение значения математики в науке, особенно в есте­ствознании (хотя еше с античности бытует мнение, что научность той или иной области знания определяется степенью использова­ния в ней математики). Такую тенденцию часто называют матема­тизацией науки. Это явление порождает философско-методологи­ческие проблемы и требует глубокого осмысления.

В XX в. во многих науках начинают широко использоваться методы математической гипотезы и математического моделиро­вания. Их применение объясняется тем, что современная наука в основном имеет дело с идеальными (либо еще не существующи­ми, либо принципиально не наблюдаемыми объектами).

Метод математической гипотезы предлагает богатые возможности вы­бора подходящих математических конструкций, решая проблемы рационального объяснения и прогнозирования в различных нау­ках.

Метод математического моделирования позволяет прибли­зиться к целостному представлению объекта, что особенно важно при изучении сложных самоорганизующихся систем.

Кроме того, данные методы позволяют спрогнозировать явление в любой сфе­ре жизнедеятельности человека и поэтому получают широкое рас­пространение не только в естествознании, ной в социологии, эко­номике, других социально-гуманитарных науках. Особо следует выделить современную космологию и социальную экологию.

Итак, философия математики определяет ее сущность, пред­мет и закономерности развития, а также раскрывает ее место в со­временных науке и культуре.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Антология философии и математики ; отв. ред. и сост. А.Г. Барабашев и М.И. Панов. М., 2002.

2. Рузавин Г.И. Философские проблемы математики // Философские проблемы естествознания. М., 1985.

Источник: https://knigi.news/uchebniki-filosof/filosofiya-problema-obosnovaniya-49072.html

Глава V. Проблемы обоснования математики и еерешение логицизмом

1.5. Философия и проблема обоснования математики

1. Понятие обоснованияматематики

Под обоснованием математики понимаютдемонстрацию возможности существованияобъектов ее теории и возможной истинностипредложений об этих объектах. Иначе говоря, этовопрос о соотношении концептуальныхматематических построений и объективнойреальности, которую они должны в конечнойинстанции отображать. Это и задает определенныйфилософский смысл проблеме.

В других науках (физике, химии,биологии), которые опираются на эксперимент,наблюдение, существование описываемых имиобъектов очевидно, и потому эти науки получаютэмпирическое оправдание.

Поскольку математикаоперирует с особыми «рафинированными»объектами, лишенными свойств в обычном(физическом, химическом и т.п.) смысле, то ихпрообразы не существуют в реальности так жеосязаемо, как в случае остальных наук.

Отсюданеобходимость обоснования права на ихсуществование.

Более того умозрительны не только самиобъекты математики, но и ее методы, посколькуистинность здесь — не в соотносимостивысказываний некой эмпирической ситуации, а в ихлогической выводимости на основе аксиом. Какзамечает академик А.

Александров, можно тысячираз измерять сумму углов треугольника иубедиться, что она равна 2d. Но математику этимничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешьрассматриваемое утверждение из аксиом.

Так иученик, решая задачу определения углатреугольника, не измеряет его транспортиром, авыводит логическим, оперируя соответствующимитеоремами. В связи с этим академик (в режимесоблюдения постулата «сохранения серьезности»)замечает.

Когда аспирант-математик жалуется, чтоу него нет условий для занятий, ему можноответить: «Какие условия тебе нужны? Есть бумагаи карандаш и есть подоконник. Занимай его иработай».

В силу специфики математической наукиее объекты постулируются, либо, если идоказываются ссылкой на ранее созданные ипринятые теории, то в этих последних они такжепостулируются.

Иных оснований и обоснований длявведения математических, равно как и длявынесения претендующих на истинностьвысказываний о них, у нас нет. Все иные основаниямогли бы быть толькоэкспериментально-наблюдательными, но ссылка наэмпирию здесь бьет мимо цели.

Остается принятьобъекты лишь с помощью постулатов, что и требуетфилософского оправдания их права насуществование.

Следует признать, что самаобоснованность обоснования отнюдь небезальтернативна. Задается вопрос, так ли ужэффективно обоснование математики? По мнению Л.

Витгенштейна, в обосновании нуждается нечтонедостаточно устойчивое, иначе какой резон этимзаниматься? Но тогда то, что вовлекается впроцедуру обоснования, что служит опорой длянего, должно быть на самом деле надежным,стабильным. Однако философия подобнымисвойствами не обладает.

Так может ли она статьобоснованием математики? Никакая философия,резюмирует Витгенштейн, не может помочьматематике, ибо она имеет только математическиетрудности, но не философские.

Как полагаютнекоторые исследователи, математик вообще ненуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках,ибо, по выражению Р. Киплинга, математика самасебе расстелила ковры ослепительной славы, таккто или что ей способны еще чего-то добавить!

Здесь есть своя правда. Заметим лишь,что, обращаясь к философским обоснованиям, неимею в виду оправдать математику с помощьюкакой-либо конкретной философской доктрины, чтоопределенно сомнительно (хотя не исключено иэто).

цель подобных намерений в том, чтобыпонять, каково отношение математической теории вкачестве чисто умозрительной структуры креальности, что стоит за математическим объектом(и стоит ли вообще что-то) и чему он обязан своимпоявлением.

По существу это попытки (и преждевсего самих математиков) выйти за гранисобственной науки, соотнести ее содержание счем-то внешним, предлежащим ему — сдействительным миром, с другими продуктамичеловеческой мысли. Но подобные проблемы иназываются философскими.

Поэтому к ним едва липрименимы такие квалификации, как нечтонеустойчивое, зыбкое. Они столь же неустойчивы,сколь устойчивы.

Проблема обоснования вызревалаисторически, имеет глубокие корни. Вехами на путистановления проблемы были кризисы в основанияхматематики, которые и возвели постановку этойтемы в ранг актуальных. Выделяют три кризиса.

Первый из них поразил уже античнуюматематику (V в. до н.э.). Речь о несоизмеримостиотрезков. Две величины или длины считаютсясоизмеримыми, если, если обладают общей мерой, тоесть величиной или длиной, которая укладываетсяна них целое число раз.

Считалось, что все отрезкисоизмеримы и вдруг обнаружились странности.Оказалось, что некоторые длины несоизмеримы.

Например, сторона и диагональ квадрата, катет игипотенуза прямоугольного треугольника, такженесоизмеримы длина окружности ее диаметр,площади круга и квадрата, построенного нарадиусе этого круга и др.

Возьмем соотношение стороны идиагонали квадрата. Каждый из этих отрезковможет быть точно вымерен в единицах длины -метрах, сантиметрах и т.д. Но становитсяневозможным измерить их один посредствомдругого, то есть взяв за единицу измеренияменьший отрезок.

Так сторона квадрата неукладывается целое число раз на его диагонали.Непременно образуется остаток. Но, может быть,можно взять за единицу этот остаток и измеритьдиагональ им? Оказалось, что и этот новый отрезокстоль же непоместим ровным счетом , как и прежний.

И так до бесконечности.

Таким образом, наряду с целыми идробными числами появляется новое число. В общемслучае гипотенузу можно выразить посредствомкатета через ранее неизвестную величину  .

Это c назвали иррациональнымчислом, то есть выходящим за грань разумного,рационального (каковым остались целые и дробныевеличины).

Второй кризис оснований математикиразвернулся на рубеже XVII-XVIII вв. по причиневычисления бесконечно малых. По определению,бесконечно малые — это величины, стремящиеся кпределу, равному нулю, но никогда его недостигающему.

Это их противоречивое свойствопорождало двусмысленность: одни математикисчитали бесконечно малые нулями и отбрасывали ихпри вычислениях, другие считали, что все же ониотличны от нуля хотя и на величину бесконечномалую. Перед лицом подобной раздвоенностиизвестный английский философ того времени Д.

Беркли обвинил современную ему математику вовсех грехах, поставив под сомнение ее научность.

Многие в течение долгих лет считалиБеркли на этом основании ретроградом, воюющимпротив нового. Конечно, подобные выступления некрасили философа, но не стоило ему приписыватьквалификации темного человека, не сведущего вматематике. А. Огурцов справедливо замечает всвязи с этим следующее. Полемика Д.

Беркли поповоду дифференциального исчисления Ньютонабыла не полемика обскуранта с новыми открытиямив математике, а защита идеалов античнойматематики в эпоху, когда их начали сменять новыеидеалы72. Иными словами, Беркли лишь философскипрочертил кризисную ситуацию, поразившуюматематическую науку.

Выход из кризиса был найден выдающимсяфранцузским математиком начала XIX столетияОгюстом Коши, ставшим в 1831 г. иностраннымпочетным членом Петербургской Академии наук.

Подобно тому, как в результате первого кризиса вматематику влились новые, иррациональные, числа,второй кризис оснований также принес новыечисла.

Разрабатывая теорию пределов, Кошиобозначил бесконечно малые как величины,существующие в их исчезновении, то есть взятые недо их превращения в нуль (тогда они были быконечными, обычными числами), но и не после ихпревращения в нуль (тогда они исчезают, и о нихничего сказать нельзя).

Бесконечно малые берутсяименно в процессе их исчезновения, представляяпо существу бесконечно умаляющее. И это былонеслыханное заявление, внесшее решительныйповорот в развитие математики. Позднеепетербургский математик и физик Л. Эйлер провелсвоего рода классификацию бесконечно малых,окончательно утвердив этим их математическийстатус.

Едва улеглись страсти после второгокризиса оснований, как в конце XIX столетия назрелтретий — самый глубокий и продолжительный,который волнует математику, логику и философиюеще и поныне.

Дело в том, что если первый и второйкризисы касались собственных проблемматематики, выяснения характера ее объектов ипринципов их построения, то третий кризиспоставил вопрос о точности математики,безупречности ее основных понятий.

И этозатрагивает уже фундамент математики,по-настоящему выводя проблему на уровеньфилософского осмысления темы, поскольку речьидет о статусе математической науки,правомерности построения ее объектов,возможности их существования и критерияхистинности утверждений о них. В предыдущихкризисах подобные вопросы, конечно, тожевозникали, но лишь в частных, не глобальныхпроявлениях.

По выводу математики из третьегокризиса сложились три направления — логицизм,интуиционизм с его конструктивной ветвью и школаформалистов.

Расцвет деятельности всех трехтечений падает на период конца XIX — начала XXстолетий с выходом конструктивизма в болеепозднее время.

Кроме того, отдельной строкой идетречь о современных попытках обоснования,нашедших выражение в теоретико-множественном икатегориальном подходах.

Источник: https://ido.tsu.ru/other_res/hischool/filmatem/51.htm

Философия математики

1.5. Философия и проблема обоснования математики

Карл Гаусс, в своё время, назвал математику царицей всех наук, отдавая ей особое место в сфере человеческого знания. Действительно, совершенно непохожая на другие науки, она скорее служит для них языком или методом изучения.

Являясь, пожалуй, самой строгой из всех наук, она не имеет собственного строгого и общепринятого определения. На протяжении всей своей истории, преобразуясь сама, преобразовывалось и понятие о математике.

Учёные, в течении всего развития математики, смогли составить скорее не определения математики, а набор афоризмов характеризующий её или представления о ней. «Математика — это язык, на котором написана книга природы»(Г. Галилей) «Математика – это наука о необходимых заключениях»(Б.

Пирс) «Математика – это строгий язык, служащий для перехода от одних опытных суждений, к другим»(Н. Бор) «Математика – это иерархия формальных структур»(Н. Бурбаки)

«Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»(А. Колмогоров)

— это лишь малая часть суждений, показывающая разнородность представлений о математике. Помимо вопроса определения математики, интересными и дискуссионными являются вопросы о её природе(основаниях), её методологии, целях и связи с реальным миром. Ответы на них также неоднозначны и значительно изменялись со временем, создавая различные философские течения.
Первым этапом становления математики как отдельной науки стала идея доказательства, дедуктивного вывода, основоположниками которой были древнегреческие математики. Появление математики как систематической науки сильнейшим образом повлияло на философское мышление того времени, что отразилось в мистификации математики в учениях Пифагора. Пифагореизм можно считать первым философским течением об основании математики, полно выражающемся в тезисе Пифагора «всё есть число». Пифагорейцы считали математику началом всех начал, основой всего сущего. Математические истины они считали врождёнными, полученными душой в более совершенном мире – мире идей. Первый кризис математики(несоизмеримость отрезков) нанёс удар по философии пифагореизма, разрушая гармонию математики. Широкая и, в определённом смысле, полная критика пифагореизма была дана Аристотелем. Математика, по Аристотелю, — это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание отвлечённое от вещей. Однако пифагореизм ещё долго влиял(в некотором роде, до сих пор влияет) на философское осмысление математики. Основным вкладом древнегреческих математиков стало привнесение в математику строгости, особенно выраженной в «Началах» Евклида. Следующей значительной эпохой в развитии математики стал период «возрождения». С новыми потребностями науки, в первую очередь механики, появились новые идеи, которые сейчас относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Математика стала рассматриваться как знание вторичное, опытное, зависящее от некоторых внешних реальностей. Эта эпоха сопровождалась вторым кризисом математики, а именно отсутствием «строгости древних» в обосновании дифференциального исчисления. На практике, оно давало результаты, но использование актуальных бесконечно малых в доказательствах было слишком эвристичным. В частности, Лейбниц, для обоснования дифференциального исчисления, вводил противоречивое понятие «неархимедовой величины». В отсутствии строгого обоснования, стали образовываться различные метафизические и натурфилософские объяснения дифференциала. Следующий этап индуцировали неевклидовы геометрии(третий кризис математики). Несоотносимые с реальным миром, они стали ударом по классическому эмпиризму прошлой эпохи. Неевклидовы геометрии стали предметом бурных дискуссий и долго не принимались многими математиками, однако именно они послужили точкой бифуркации в развитии математики, создав абсолютно новый взгляд на неё. Теперь наиболее важным признаком математической теории стала непротиворечивость, а не соотнесение с опытом. Хотя поначалу были попытки метафизического объяснения неевклидовых геометрий, позже, во многом силами Пуанкаре, Дедекинда, Кантора, Гильберта, была признана равноправность математических объектов связанных и не связанных с опытом и интуицией. Такое видение математики нашло своё отражение во всей последующей её философии. Различные философско-математические течения отличаются в основном методами обоснования математики. Одним из таких течений является логицизм, появившийся в духе развития формальной математической логики. Его основной задачей была попытка свести основу математики – арифметику к логическим тавтологиям. Её апологет Г.Фреге не сомневался в том, что логика даёт достаточную базу для выяснения истинного смысла всех математических понятий. Однако оказалось, что логические обоснования если даже и не ведут к парадоксам, то всё же необходимо должны привлекать дополнительные предположения, находящиеся вне законов логики. В идее логического обоснования математики лежали, в первую очередь, идеи об особенности логики(формальной логики), её первичности, однако, это утверждение является достаточно сомнительным. Пуанкаре охарактеризовал логицизм как «безнадёжную попытку свести бесконечное к конечному». Другим течением стал интуиционизм. Его основным пунктом стала вера в то, что некоторые объекты математики безусловно ясны, и оперирование с ними не может привести к противоречию. Появившись в большой мере как противовес логицизму, он по сути являлся лишь модификацией эмпиризма. Отказываясь от многих полученных раньше принципов, он существенно обеднил математику, что послужило одной из причин отказа от него. На основе критического пересмотра всех полученных к тому времени программ обоснования математики, Гильберт предложил свой путь, который стал известен как формализм. Основная философская предпосылка этого течения заключалась в том, что обоснование математики есть лишь обоснование её непротиворечивости. Процедура обоснования, предложенная Гильбертом, состояла, во-первых, в формализации теории в символьном виде схемы аксиом и правил вывода, и во-вторых, в доказательстве её непротиворечивости исходя только из её формальной структуры. Однако и это течение оказалось несостоятельным. Две теоремы математической логики Курта Гёделя совершили переворот в обосновании математики. В частности, вторая теорема гласит, что доказательство непротиворечивости любой достаточно богатой формальной теории невозможно средствами самой этой теории, что делает невозможным процедуру обоснования Гильберта. Таким образом любая формальная теория может быть обоснована только лишь другой теорией, что приводит к обязательному существованию необоснованной теории или замкнутого круга теорий, обосновывающих друг друга. Итак, проблема обоснования математики, поиска её природы остаётся открытой. На мой субъективный взгляд ответ может быть таким: математическая теория остаётся верной, пока она видится непротиворечивой для людей, верной в соответствии с нашим мышлением, нашей логикой(что-то вроде антропного принципа, схоже с основой теории ценности Карла Менгера). Таким образом остаётся вопрос о том, что же такое человеческое мышление и логика, какова их природа. На этот вопрос философия также давно ищет ответ. Были и эмпиристические идеи, согласно которым наше мышление формируется посредством опыта, и близкие к ним праксиологические, рассматривающие мышление как некоторую нейросеть, обучающуюся на своих действиях, и, назовём их так, сакраментальные, например, представляющие мир идей как некоторое отдельное пространство. особенность изложенного выше подхода к обоснованию математики, состоит в том, что принимая такой принцип, мы можем абстрагироваться от вопроса обоснования, и решать уже только проблему природы человеческой мысли и логики. (хотя ответ мы возможно никогда не найдём, ведь несмотря на отличающее нас свойство рефлексии, вполне вероятно, что познать самих себя не представляется возможным) Литература:

Е.А. Беляев, В.Я. Перминов «Философские и методологические проблемы математики»

  • математика
  • философия
  • методология математики

Источник: https://habr.com/post/183556/

Философия и проблемы обоснования математики

1.5. Философия и проблема обоснования математики

Философияматематики – это и раздел философии иодновременно общая методологияматематики. Её основные проблемы – этоопределение сущности математики, еёпредмета и методов, место математики внауке и культуре. Методы философииматематики:

-рефлексивный;

-проективный;

-нормативный.

Философияматематики выполняет функциюпрогностической ориентации математики.Вопрос о статусе математических объектовтесно связан с более общим вопросом осмысле существования в математике.Какие объекты допустимы в математикевообще. Различные направления внутриматематики привели в итоге к осознаниюфеномена множественности математик.

Начиная с 1960-х годов, намечается тенденцияк сдвигу проблематики обоснованияматематики, направлений и задач, связанныхс машинной математикой. В связи с этимможно говорить о возникновении новойгносеологической ситуацией в современнойматематике.

Перспективы развитияматематики и уяснения её оснований,начинают зависеть от взаимодействиячеловека и машины, при котором возникаетспецифические критерии математическогодоказательства.

Начинаяс 20 века, во многих науках начинаютшироко использоваться методы математическойгипотезы и математического моделирования,что получило название – тенденции кматематизации науки. Применение методовматематики в современной науке объясняетсятем, что она в основном имеет дело сидеальными объектами, т.е.

либо ещё снесуществующими, либо принципиальноненаблюдаемыми. Метод математическойгипотезы предлагает богатые возможностивыбора подходящих математическихконструкций, решая проблемы рациональногообъяснения и прогнозирования в различныхнауках.

Метод математического моделированияпозволяет приблизиться к целостномупредставлению объекта, что особенноважно при изучении сложных самоорганизующихсясистем.

Данные математические методыпозволяют спрогнозировать явления влюбой сфере жизнедеятельности человекаи поэтому получают широкое распространениене только в естествознании, но исоциологии, экономике и другихсоциально-гуманитарных науках.

Философские проблемы экономики

1.Проблема гуманитарного знания и егометодов.

Ссамого начала возникновения философиии науки формулировалась проблемадемаркации (разделения) и определенияспецифики гуманитарного и естественнонаучногознания и познания. Эта проблемапрослеживается на всём протяжениисуществования науки. На сегодняшнийдень можно говорить о трёх основныхпозициях взаимоотношения гуманитарногои естественнонаучного знания:

-противопоставление гуманитарных иестественных наук. Отрицание какой-либообщности предметных областей и ихисследования с одновременным утверждениемодинаковой компетентности этих областейзнаний, но с разными критериями истинностизнания.

-отличие гуманитарного и естественнонаучногопознания в методах познания;

-сциентистский – это идеализация иабсолютизация роли естественных наукв системе научного знания и их место вкультуре.

С точки зрения современнойфилософии науки происходит сближениеестественнонаучной и гуманитарныхкультур, чётко очерчиваются границыгуманитарного и естественнонаучногознания, исходя из этого, гуманитарноепознание интерпретируется какспецифическая форма вторичного отражениядействительности качественно отличающеесяот естественно научного и общественногопознания предметов и использованиемособых методов исследования.

Главнымпредметом гуманитарного познаниявыступают тексты. Текст – это любаязнаковая система, которая способна бытьносителем смысловой информации и имеетязыковую природу. Гуманитарное познаниесуществует только в мире культуры исоздает саму культуру.

В связи снеобходимостью исследования многограннойсущности человека, как социобиологическогосущества, происходит интеграция иконвергенция в определённых областяхестественнонаучного и гуманитарногознания, что соответствует основополагающимпринципам постнеклассической науки.

2.Нравственно-философские основыпредпринимательства. С самого возникновенияэкономической теории в новое время врамках направлений меркантилизма,физиократизма и других направленийрешалась проблема об источникахбогатства, происхождении и природыменовых пропорций, природо-экономическихотношений и систем.

Но вместе с темпредпринимались попытки связать принципымаксимизации выгоды и минимизациизатрат с духовной культурой, нравственнымиценностями. Эта проблематика сталаодной из главных в теории и практикепредпринимательства.

Формированиеразвития рыночных отношений вызываетизменения в социальном бытии, в сознаниии поведении носителей этих отношений,в частности в их мировоззрении инравственной позиции. Это нагляднопроявляется например в соотношениикоммерческой выгоды и моральногобескорыстия, т.о.

цивилизованныйпредприниматель в своей деятельностидолжен решать противоречия, с однойстороны большая расчётливость, ясноепонимание своей выгоды, умение её достичьи закрепить, а с другой при мотивациинравственного аспекта своей деятельности,признание авторитета духовных ценностей,уважение к другому человеку, мотивбескорыстия.

Рыночныеотношения предполагают сочетание этихпринципов. Деятельность субъектовмаркетинга как организации и особеннолюдей, представляет собой особуюразновидность деятельности, социальнойобщности.

Предпринимательство в целомвыступает как деятельность, ориентированнаяв изменение социальных отношений,поэтому предприниматель – это активнодействующий субъект, а социальныевзаимодействия образуют основу морали.

Инновационно-новаторское предпринимательствопозволяет сделать следующие выводы:

-Предпринимательская активность – этофункция средоструктурных факторов,ситуационных событий, определённыхсвойств личности. В предпринимательскойактивности уровень предприимчивостимоет быть предельно низким, а можетдостигать уровня инновации, но он никогдане совпадает с тем, что планируется.

-В современной мировой экономическоймысли проблема взаимоотношениясоциального и нравственного бизнесаиграет особое значение и вызываетразличные оценки экспертов.

Погружённостьрынка в ментальность общества создаётособый вид рыночного сознания –коммерческий стиль мышления – этоконгломерат соотношения выгоды,утилитарности и уравнительности.

Этапроблематика порождает аксиологическиеаспекты современной предпринимательскойдеятельности в России.

Источник: https://studfile.net/preview/3166027/page:11/

Философия и проблема обоснования математики

1.5. Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие пара­доксов теории множеств и их философское описание.

Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основания математики. Логицистская установка Г.Фреге, его взгляды на природу математического мышления.

Программа логической унификации математики. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского.

Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праинтуиция как исходная база математического мышления. Проблема существования. Учение Л.

Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики.

Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.

Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивости арифметики. (Г.Генцен, П.Новиков, Н.Нагорный). Теоремы К.Геделя и программа Гильберта: современные дискуссии.

Философско-методологические и исторические проблемы математизации науки

Прикладная математика. Особенности приложений математики. Математики как языка науки. Уровни математизации знания: количественная обработка экспериментальных данных, построение математических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.

Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией катастроф, теорией фракталов, и др. Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.

Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» математики в физике: проблема рационального объяснения.

Этапы математизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика.

Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математических конструкций).

Постклассическая фаза (аксиоматические и конструктивные теории поля и др.). Перспективы математизации нефизических областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуальное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании.

Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Сравнительный анализ математического моделирования в различных областях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-методологический анализ.

Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении сложными социально-экономическими системами: возможности, перспективы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование.

Математический эксперимент.

Литература.

1. Антология философии математики / Отв. ред. и сост. А.Г. Барабашев и М.И. Панов. — М., 2002.

2. Абрамян А.О. Математизация знаний. — Ростов н/Д: Изд-во Ростовского университета, 1972.

3. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. — М., 1981.

4. Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты./ Под ред. А.Г. Барабашева. — М., 1997.

5. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Н.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. — Киев, 1976.

6. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв. ред. М.И. Панов. — М., 1987.

7. Клайн М. Математика. Утрата определенности (пер. с англ.). — М., 1984; Пуанкаре А. О науке. — М., 1990.

8. Математика и опыт. Под ред. А.Г. Барабашева — М., 2002.

9. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969.

10. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики — М., 1976.

11. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М., 2002.

12. Петров Ю.П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика. — СП 16, 2005.

13. Поликарпов B.C. Философия науки. — Ростов н/д-Таганрог, 2004. Раздел 1. «Философские проблемы математики».

14. Стили в математике. Социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. — СПб, 1999.

15. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. — М., 1968.

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/35919.html

Scicenter1
Добавить комментарий