3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

Содержание
  1. Последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией
  2. 5.                  Ипатов В. П. К теории троичных последовательностей с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами./ Радиотехника и электроника.-1980.-Т.25, № 4.-с.723–727
  3. Характеристики апериодических корреляционных функций M – последовательностей
  4. Взаимно-корреляционные пики последовательностей GMW
  5. 8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами. Широкополосные сигналы и системы
  6. 8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности
  7. 8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях
  8. 8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей
  9. 8.4. Дополнение о конечных полях
  10. 8.5. Последовательности Лежандра
  11. 8.6. Вновь о бинарных кодах с хорошими апериодическими АКФ
  12. 3.3. М-последовательности. Основные свойства

Последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией

3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

Матвеев Д. В., Смирнов А. И., Латыпов К. Ф. Последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией // Молодой ученый. — 2016. — №4. — С. 60-63. — URL https://moluch.ru/archive/108/25965/ (дата обращения: 04.02.2020).

Исследованы троичные псевдослучайные последовательности на М-последовательностях и их автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции, оценены достоинства и недостатки многофазных кодов.

Ключевые слова: код Франка, псевдослучайность, шумоподобные сигналы, фазовая модуляция, код Чу

Существуют многочисленные практические приложения, в которых периодичность используемых сигналов выдвигает на первый план качество их периодических корреляционных свойств.

Эффективная периодическая АКФ играет роль вспомогательного инструмента для синтеза хороших апериодических последовательностей. Примеры с непрерывным излучением дают дальномерные системы, в особенности на больших расстояниях.

Пилотный и синхронизирующий канал в цифровых системах передачи информации, радарные и сонарные системы с непрерывным излучением и т. п.

Бинарные последовательности выглядят достаточно привлекательно, обладая значительным периодическим боковым лепестком , который падает с ростом длины. Вероятность может быть достаточной, когда приемлемое значение требует относительно большой длины N.

В частности, для локационных дальномерных и сонарных систем сигналов разрешение сигналов требуется в динамическом диапазоне, превышающем 80 дБ. Оптимальные бинарные последовательности длины выполняют такие условия, превышающей , что неоправданно замедляет начальную процедуру поиска.

Очевидно, что для многих подобных сценариев наилучшим выходом могла бы служить идеальная периодическая АКФ, которая, к сожалению, недостижима на множестве бинарных кодов, наиболее привлекательных с точки зрения практической реализации.

В дальнейшей части будут проанализированы возможные различные пути достижения идеальной периодической АКФ для случаев, когда алфавит последовательности не лимитирован жестким требованием бинарности символов . [3]

Применение недвоичной фазовой модуляции с M> 2 позволяет получить многочисленные многофазные последовательности с идеальной периодической АКФ.

Существуют различные правила их конструирования, но в целом все они являются производными двух наиболее распространенных алгоритмов.

Первый из них, соответствует кодам Чу (или квадратичных вычетов), аппроксимирует дискретно закон линейной частотной модуляции. Коды Чу существуют при произвольном значении длины N и формируются как

,(1)

где i=…,-1,0,1,….

Легко проверить, что для всех i и, значит. N — по крайней мере, кратно периоду кода. В процессе вычисления периодической АКФ окончательно прояснится значение периода. Для кода четной длины ненормированная периодическая АКФ определяется в виде

При m=0modNпоследняя сумма равна N, а коэффициент, стоящий перед ней обращается в 1. Для любого другого m exp(j2πim/N)зависит от I, а упомянутая выше сумма представляет собой сумму корней из единицы некоторой степени, или. что эквивалентно, геометрической прогрессии с коэффициентом exp(j2πm/N).При вычислении суммы прогрессии, получим:

Знаменатель последней дроби никогда не обращается в нуль за исключением m=0modN и, следовательно, при любых сдвигах, не кратных N. Коды Чу, определяемые первой строкой в (1), обладают периодом N и имеют идеальную периодическую АКФ. Аналогичным образом осуществляется доказательство и для нечетного значения N.

Несмотря на то, что коды Чу служат достаточно убедительным академическим примером ФМ последовательностей с идеальной АКФ, их практическая реализация вызывает обоснованные сомнения, поскольку размер фазового алфавита линейно растет с увеличением длины и расстояния между соседними фазами становится чрезмерно малым. Этим обстоятельством обусловлена возрастающая требовательность к точности формирования символов кода, качеству воспроизведения фаз, условиям эксплуатации и т. п.

Аналогичные недостатки (хотя и в несколько меньшей степени) характерны для второго популярного семейства многофазных кодов: кодов Франка. Они также осуществляют пошаговую аппроксимацию линейной частотной модуляции, однако значительно более грубую, и существуют только при значениях длин, представляющих квадрат целогочислаПравило их формирования описывается соотношением

(2)

где, как обычно, [х] обозначает округление неотрицательного х в меньшую сторону.

Доказательство идеальности периодических корреляционных свойств кодов Франка отличается незначительно и составляет суть задачи (6). Из сравнения (2) и (1) очевидно, что фазовая градация кодов Франка уменьшается раз.

Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно p, а фазы принимают значения

(3)

Числа r и p — взаимно-простые; -номер элемента, -й символ j- кодовой последовательности .

ВКФ сигналов j и k по определению записывается следующим образом:

(4)

Подставляя (8) в определение (9), находим

(5)

Модуль максимального пика

(6)

где

(7)

Максимальный боковой пик будет минимальным, если максимальное значение

минимально, т. е.

=min.

Для уменьшения необходимо иметь исходные сигналы, у которых периодические АКФ имеют положительные боковые пики. Оценка ВКФ при

, (8)

где δ определяется соотношением

Неравенству (13) удовлетворяет система кодовых последовательностей , символы которой определяется из сравнения второй степени:

,(9)

где  — номер последовательности; -целые числа ; N-простое число. Например, при N=11,

(10)

01495335941
0287   1066    107    82
03154994513
045391193   54
059134431   95
062   108778   1026
07682   10  102867
08   10672276108
09341551439
0   1072688627  10

Каждая строка является кодовой последовательностью . Для систем (9) при p=N периодическая АКФ каждой последовательности имеет нулевые боковые пики. Следовательно, для систем (9), (10) справедлива оценка (8)

Литература:

1.                  Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. М: Техносфера, 2007,488с.

2.                  Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами М: Радио и связь, 1985, 384с.

5.                  Ипатов В. П. К теории троичных последовательностей с идеальными периодическими автокорреляционными свойствами./ Радиотехника и электроника.-1980.-Т.25, № 4.-с.723–727

Основные термины(генерируются автоматически): код, кодовая последовательность, линейная частотная модуляция, непрерывное излучение, практическая реализация, последовательность, система.

В настоящие время в системе ГЛОНАСС все спутники используют одну и ту же псевдослучайную кодовуюпоследовательность для передачи

Для оценки служит взаимно корреляфционная функция (ВКФ), в общем случае она определятся интегралом, для непрерывных функций и [1].

Разработчики телекоммуникационных систем сталкиваются с постоянной проблемой ограниченности ресурса среды передачи, будь то время, пространство, частота или код.

4. Бернанд Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение.

Рассмотрим схемы радиовысотомеров с линейночастотноймодуляцией (ЛЧМ) и фазокодовой манипуляцией (ФКМ), для которых в дальнейшем

Модулирующаяпоследовательность A(t) определяется длительность парциального импульса и период последовательности

Такая синхронизация нашла применение в частотноймодуляции и демодуляции, умножения и

— 14с.:ил. 3. Скляр Б Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. /

Система синхронизации псевдослучайной последовательности для анализатора…

реализации цифровых фильтров, являющихся неотъемлемой частью данного вида АЦП [2, 3]

Примеры выходных кодов ΣΔ-модулятора для двух значений входного напряжения показаны на рисунке 2.

Рисунок 4 – Структура последовательности при входном напряжении 1,357В.

кодовойпоследовательности и тактовая частота меандровой последовательности

В системе GALILEO для навигационных сигналов используются три частотных диапазона

При использовании сигналов с модуляцией BOC(3,1) выигрыш по дисперсии ошибки оценки…

Рис. 1. Линейная модель системы. Практическая важность линейного предсказания состоит в оценке спектра исследуемого сигнала на его отрезке

– 608 с. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер с англ. – М.: Радио и связь, 2000. – 253 c.

Система синхронизации псевдослучайной последовательности для анализатора достоверности цифрового потока при быстром изменении фазы

Программная реализация анализатора аудиофайлов. Экспериментальное исследование сигналов первичной и вторичной…

Реализация классического способа передачи данных с частотным уплотнением посредством прямого и обратного преобразования Фурье

Системы обработки информации.

3. Слюсар В. И. Метод неортогональной частотной дискретной модуляции для узкополосных каналов связи. /

В настоящие время в системе ГЛОНАСС все спутники используют одну и ту же псевдослучайную кодовуюпоследовательность для передачи

Для оценки служит взаимно корреляфционная функция (ВКФ), в общем случае она определятся интегралом, для непрерывных функций и [1].

Разработчики телекоммуникационных систем сталкиваются с постоянной проблемой ограниченности ресурса среды передачи, будь то время, пространство, частота или код.

4. Бернанд Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение.

Рассмотрим схемы радиовысотомеров с линейночастотноймодуляцией (ЛЧМ) и фазокодовой манипуляцией (ФКМ), для которых в дальнейшем

Модулирующаяпоследовательность A(t) определяется длительность парциального импульса и период последовательности

Такая синхронизация нашла применение в частотноймодуляции и демодуляции, умножения и

— 14с.:ил. 3. Скляр Б Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. /

Система синхронизации псевдослучайной последовательности для анализатора…

реализации цифровых фильтров, являющихся неотъемлемой частью данного вида АЦП [2, 3]

Примеры выходных кодов ΣΔ-модулятора для двух значений входного напряжения показаны на рисунке 2.

Рисунок 4 – Структура последовательности при входном напряжении 1,357В.

кодовойпоследовательности и тактовая частота меандровой последовательности

В системе GALILEO для навигационных сигналов используются три частотных диапазона

При использовании сигналов с модуляцией BOC(3,1) выигрыш по дисперсии ошибки оценки…

Рис. 1. Линейная модель системы. Практическая важность линейного предсказания состоит в оценке спектра исследуемого сигнала на его отрезке

– 608 с. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер с англ. – М.: Радио и связь, 2000. – 253 c.

Система синхронизации псевдослучайной последовательности для анализатора достоверности цифрового потока при быстром изменении фазы

Программная реализация анализатора аудиофайлов. Экспериментальное исследование сигналов первичной и вторичной…

Реализация классического способа передачи данных с частотным уплотнением посредством прямого и обратного преобразования Фурье

Системы обработки информации.

3. Слюсар В. И. Метод неортогональной частотной дискретной модуляции для узкополосных каналов связи. /

Источник: https://moluch.ru/archive/108/25965/

Характеристики апериодических корреляционных функций M – последовательностей

3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

АКФ периодических М – последовательностей имеет вид, представленный на рис.2.5, где боковые пики равны — . Однако, АКФ апериодической М – последовательности рис.2.7 (N=127) имеет боковые пики существенно большие, чем у периодической ПСП.

127

120 N=127

10

0

— 60 — 30 30 60 90 120

-10

Рис.2.7. АКФ апериодической М – последовательности с N=127.

В табл. 2.5 приведены для сравнения обобщенные характеристики КФ М – последовательностей в апериодическом режиме и СП (см. раздел 2.3), где:

-среднеквадратическое значение боковых пиков определено дисперсией

; (2.38)

-среднее значение модулей боковых пиков

; (2.39)

-среднеквадратическое значение модулей пиков определено дисперсией

; (2.40)

-максимальные значения бокового пика .

Таблица 2.5

Корреляционные функции
АКФ М – последовательностей 0,4 0,32 0,26 0,7…1,25
ВКФ М – последовательностей 0,73 0,54 0,48 1,4…5
КФ (АКФ и ВКФ) случайных последовательностей 0,7 0,56 0,43 2,1…3,5

Цифры, приведенные в таблице, не нормированы, т.е. умножены на и определяют превышение σR , , и уровня .

Отметим, что среднее значение боковых пиков равно (сравни с (2.22)для СП), а ВКФ М – последовательностей имеют большие боковые пики, чем АКФ. Однако, характеристики этих ВКФ близки к статистическим характеристикам КФ СП: , , что и обусловило их название “псевдослучайные последовательности”.

Следует отметить также, что уровень для различных М – последовательностей может превышать значение 1/ в 5…6 раз.

2.4.2. Многофазные сигналы. Амплитудно-фазоманипулированные

Сигналы

Максимальные уровни боковых пиков апериодических АКФ ПСП конечной длительности можно уменьшить, применяя многофазные сигналы и амплитудно-фазоманипулированные сигналы.

Многофазные сигналы можно построить дискретизацией аналоговых сигналов с ЧМ, например, линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ). На рис.2.8, изображена зависимость фазы θ от t огибающей сигнала с ЛЧМ (рис.1.1) в форме записи (1.15).

Рис.2.8. Зависимость фазы θ огибающей сигнала с ЛЧМ

, где .

ЛЧМ сигнал длительностью Т можно представить в виде последовательности N радиоимпульсов с мгновенной частотой, линейно изменяющейся в течение импульса Значения линейно-ломанной аппроксимирующей дискретной функции совпадают с непрерывной θ(t) в точках, кратных τ0, т.е. θn=θ (n τ0), n = 0,1,…N-1.

Если в качестве начальных фаз многофазного сигнала ЧМ взять

θфn=(θn+θn+1)/2, то начальные фазы n-го импульса многофазного сигнала, соответствующего аналоговому сигналу ЛЧМ, равны:

θфn=(n2+n) π/N. (2.41)

Меняя β (т.е. θфn ) получим систему многофазных сигналов.

Модуль АКФ такого многофазного сигнала равен

. (2.42)

В качестве аналогового сигнала можно взять также сигнал с квадратичной частотой модуляцией (КЧМ). Известно, что модули АКФ этих аналоговых и соответствующих многофазных сигналов близки, а боковые пики

Амплитудно-фазоманипулированные (АФМ) сигналы. Можно показать [1], на основании (2.8), что идеальной АКФ ФМ ПСП без боковых пиков соответствует бесконечная ПСП.

Реальные конечные ПСП, уменьшающие боковые пики АКФ ПСП символов an, n=0,1…N, можно построить, уменьшая амплитуды крайних оставленных и отброшенных символов бесконечной ПСП, отсчитываемых от середины ПСП. При этом известно, что лучшим АФМ сигналом является ПСП символов рис.2.

9а с квадратичным фазовым спектром Ψ(ω) (2.7) КП и огибающей (1.13) с косинусной формой, т. е. пик — фактором .

Если произвести двоичное квантование (клипирование) по уровню АФМ сигнала (рис.2.9а), т.е. получить (рис.2.9б), то получим ФМ сигнал, АКФ которого будет обладать большими, но все же достаточно малыми боковыми пиками.

Рис.2.9. АФМ сигнал (а), ФМ сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (в).

Например, АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром при N=37 имеет максимальный боковой пик АКФ 1,5%. При этом максимальный боковой пик АКФ ФМ сигнала (рис.2.9в) равен 5/37=0.

135, что несколько меньше Можно показать, что среднеквадратичное значение боковых пиков АКФ таких ФМ сигналов (при оптимальном выборе их параметров) равно т.е.

такие сигналы можно отнести к оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.

Минимаксными ФМ сигналами называют сигналы, у которых максимальные боковые пики АКФ минимальны.

2.4.3.Cистемы ФМ сигналов

Ранее отмечалось, что для помехозащищенных ШСС требуется большой объем L (1.5) нормальных и больших систем ФМ ШПС.

К такому объему можно приблизиться, реализуя системы сигналов на основе, например, систем Уолша или производные системы [1] ФМ сигналов на основе М-последовательностей.

Система сигналов Уолша. Многие системы ФМ сигналов образованы на базе систем сигналов Уолша, построенных на основе матрицы Адамара

, (2.43)

где HN — матрица Адамара порядка N, а H2N — порядка 2N.

Полагая H1=1 из (2.43) можно получить матрицы порядка 2

или 4,8…2т, где т-целое число. Например, порядка 8

(2.43')

В качестве КП системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число этих КП (объём системы) равно порядку матрицы N.

Обозначим j-ю кодовую последовательность Уолша в (2.43') как {Wj}, , а её п-ый символ через Wj(п). На основании уравнения ортогональности матриц Адамара , где в обычном произведении матриц Т — знак транспонирования, а I- единичная матрица, можно записать уравнение ортогональности ПСП Уолша

. (2.44)

На рис.2.10 приведены ПСП системы Уолша согласно матрице Н8, которые упорядочены по числу блоков μ в последовательности.

Рис.2.10. Система сигналов Уолша.

Отметим, что число блоков μ в различных последовательностях изменяется от 1 до N, и плохо согласуется с блоковой структурой кода СП (2.23), (2.27). Поэтому система сигналов Уолша обладает плохими корреляционными свойствами, т.е. АКФ и ВКФ имеют большие боковые пики.

При этом спектр (2.6) кодовой ПСП Уолша с μ=1 имеет максимум (рис.2.1) при ω = 0, а с μ = N имеет максимум при ω = π/τ0 и оба максимума равны N. Соответственно максимум СПМ равен N2. У остальных ПСП максимумы лежат между ω = 0 и ω = π/τ0.

На базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов.

Производным сигналом называют сигнал, образованный посимвольным произведением двух или более исходного и производящего сигналов, которые могут быть узкополосными и широкополосными.

К таким системам можно отнести:

сегментные cистемы, реализуемые путем выделения перекрывающихся или не перекрывающихся сегментов (отрезков) из ПСП на основе М-последовательности большой длины N;

циклические системы Голда, Касами.

Выбор производящего сигнала зависит от исходного сигнала. Если исходный сигнал U широкополосный, то производящий V тоже широкополосный с малыми уровнями боковых пиков ФН. Если исходный сигнал узкополосный, то для производящего сигнала достаточно многократное превышение полосы исходного сигнала и малый уровень боковых пиков АКФ.

Производные сегментные системы сигналов. Обозначим комплексную огибающую (1.15) исходной М-последовательности U(t), где

0 ≤ t ≤T, а модуль огибающей (1.13) производящего сигнала V(t)=1, 0 ≤ t ≤ T0, гдеT0 < T. В этом случае выделение сегмента из ПСП эквивалентно применению узкополосного производящего сигнала с прямоугольной огибающей и длительностью, равной длительности сегмента T0.

Производный сигнал

Sp(t)=U(t+tp)∙V(t) (2.45)

называют р-м сегментом, расположенным на отрезке [0,T0], который вырезается из исходного сигнала (ПСП) на отрезке [tp, tp+T0]. Последовательность сегментов образует систему сигналов

с объемом системы при примыкающих сегментах и длительностью сегмента .

ВКФ сегментов и максимальные боковые пики ВКФ сегментов равны:

:

. (2.46)

При проектировании системы сигналов задается эффективное значение ВКФ При заданном Q и известном, например, N ПСП из (2.46) определяют длительность сегмента и объем системы .

Производный сигнал может формироваться и при перекрывающихся сегментах.

Производныециклическиесистемысигналов. Пусть для циклических систем даны две кодовые ПСП {А(ν)}, {В(ν)}, где ν- номер символа в ПСП, а символы А(ν), В(ν) принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной р-ичной группе.

Если р >2, то будем называть сигнал многофазным. Этим ПСП можно поставить в однозначное соответствие цифровые кодовые ПСП {а(ν)}, {b(ν)},символы которых а(ν), b(ν) принадлежат аддитивным р-ичным группам.

При р =2 символами ПСП {А(ν)}, {В(ν)} являются 1 и -1, а символами цифровых ПСП являются 0 и 1.

Формирование КФ (2.18) сводится к перемножению символов А(ν) и В*(ν) с последующим суммированием, где *-знак комплексной сопряженности.

При переходе к символам а(ν), b(ν) КФ определяется через разности этих символов по mod p на основе сравнения (Примечание стр.23)

, т.е. . (2.47)

Для циклических систем ФМ сигналов ПСП {а(ν)}, {b(ν)} должны обладать следующим циклическим свойством: разность по mod p ПСП {а(ν)} и её циклической перестановкой {а(ν+μ)} является другой циклической перестановкой {а(ν+λ)} исходной ПСП, т.е.

{а(ν)} — {а(ν+μ)}= {а(ν+λ)}, (2.48)

где λ≠0 и λ≠μ(mod p). Аналогично:

{ b(ν)}- {b(ν+μ)}= {b(ν+λ)}.

Равенства (2.48) выполняются для М-последовательностей согласно их аддитивно-циклическим свойствам.

Пример. Циклические перестановки получаются так: исходная ПСП {а(ν)} записывается в виде периодической бесконечной ПСП:

a(N-2),a(N-1), a(0), a(1),…a(ν),… a(μ),… a(N-2), a(N-1), a(0), a(1),a(μ), ..

Т.е. она начинается с символа a(0) и заканчивается символом a(N-1) . Циклическая перестановка {а(ν+μ)} начинается с символа a(μ) при ν=0 и заканчивается при ν = N-1символом a(μ +N-1).

Циклическая система сигналов состоит из последовательностей {Сj(ν)}, символы которых определяются равенством

Cj(ν)=a(ν)-b(ν+j), (2.49)

где

Каждая ПСП циклической системы равна разности между ПСП {а(ν)} и ПСП циклической перестановки {b(ν+j)}, т.е.

{Cj(ν)}={a(ν)-b(ν+j)} (2.50)

Такие циклические системы являются производными, где система последовательностей {b(ν+j)} является исходной, а ПСП

{а(ν)}производящей.

Известно, что ВКФ сигналов циклической системы определяются периодическими ВКФ, ВФН образующих последовательностей. Поэтому для построения циклической системы минимаксных сигналов (Rmax→min) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов имели малые боковые пики (Rmax(λ)→min). Общего метода построений таких сигналов нет.

Циклические системы Голда. По методу Голда образующим двоичным (p=2) М-последовательностям длины N=2n-1 должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются α-ν для первой и (α2l+1)-ν для второй последовательностей, где l -любое целое число, взаимно-простое с п.

Примитивным называют неприводимый (не может быть представлен в виде произведения) многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля Галуа GF(2n).

Корень α называется примитивным, если все его степени (α0, α1 ,..αN= α0) дают различные элементы поля.

Такие образующие ПСП выбираются по известным [1] таблицам неприводимых многочленов и периодические нормированные ВКФ ПСП циклической системы сигналов являются случайными уровнями с

максимальными боковыми пиками

Rmax (λ ) ≤ 1,4/ , (2.51)

что меньше в 2 раза, чем для полного кода (3/ ).

Пример. Полагая обозначения n=k эквивалентными, возьмем [2] в качестве образующих М-последовательностей пару при k=5 предпочтительных ПСП длины N=2k-1=31, которым соответствуют полиномы 101001 и 111011(см. раздел 2.4.1):

f1(x) =а0x5+а3×2+1

f2(x) = а0x5+а1×4+ а3×2+ а4x+1. (2.50')

Эти ПСП имеют трехуровневую периодическую ВКФ {-1, -t(k), t(k) -2}, где уровень t(k) определен (2.32').

Из этой пары ПСП {a(ν)} и {b(ν)} образуем согласно (2.50) ансамбль

последовательностей {Cj(ν)}, длины N каждая, взяв для каждого циклического сдвига j посимвольную сумму по mod2 символов последовательности {a(ν)} и символов циклически сдвинутой на j версии ПСП {b(ν+j)} или наоборот. Таким образом, получим N новых периодических последовательностей с периодом N=2k-1.

Если включить в этот ансамбль и исходные ПСП {a(ν)} и {b(ν)}, то получим ансамбль из (N+2)=33 ПСП.

Эти ПСП называют последовательностями Голда, из которых 31 ПСП не являются последовательностями максимальной длины.

Схема реализации генератора предпочтительных М-последовательностей, которым соответствуют примитивные многочлены (2.50'), и генератора ПСП Голда представлена на рис.2.10'.

Рис.2.10'. Схема реализации генератора предпочтительных

М-последовательностей (2.50') и соответсвующих ПСП Голда

АКФ ансамбля из 31 ПСП Голда не являются в отличие от М-последо-вательностей двоичными. Голд показал, что значения ВКФ любой пары ПСП ансамбля (N+2) последовательностей Голда и пиковые значения не нормированной АКФ Rmax являются троичными с возможными значениями {-1,-t(k), tk-2}, где уровень t(k) определен (2.32').

Циклические последовательности Касами образуются аналогичными процедурами согласно (2.50), где, если ввести задержку D(j), то можно записать в виде:

{Cj(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)}, (2.52)

где символ — посимвольное умножение последовательностей {А(ν)} и {D(j)B(ν)}, а произведение D(j)B(ν) является символом B(ν), сдвинутым на jтактов. Число всех ПСП равно N+2 (N сдвигов плюс две исходных ПСП).

Для малой системы Касами с ансамблем

предложено брать исходные М — последовательности: {А(ν)} с периодом , а { B(ν)} с периодом и .

Пример. Рассмотрим процедуру генерации [2] ансамбля ПСП Касами из L=2k/2 двоичных ПСП периода N=2k-1, когда k–четно.

В этой процедуре начинаем с М-последовательности {a} и формируем двоичную последовательность {b}, взяв каждый (2k/2+1) символ из {a}, т.е. последовательность {b} формируется путем децимации (прореживания) {a} через (2k/2+1) символ.

Полученная последовательность {b} периодическая с периодом (2k/2-1), например, при k =10 период ПСП {a} равен N=2k-1=1023, а период {b} равен (2k-1)=31.

Следовательно, если мы будем наблюдать 1023 символа последовательности {b}, то увидим 33 повторения 31 символьных последовательностей.

Теперь, взяв N=2k-1 символа из ПСП {a} и {b}, мы формируем новый ансамбль ПСП путем суммирования по mod2 символов из {a} и символов {b} и всех (2k/2-2)=30 циклических сдвигов символов из {b}.

Включая ПСП {a} в ансамбль, мы получим ансамбль объемом из L=2k/2 (1 ПСП {a}+1 ПСП{b}+30 ПСП{b} циклической перестановки) двоичных ПСП длины N=2k-1 каждая, которые называются последовательностями Касами.

АКФ и ВКФ (не нормированные) этих ПСП имеют значения из ряда: {-1,-(2k/2 +1), 2k/2 -1}, а максимальное значение ВКФ для любой пары ПСП этого ансамбля равно .

Эта величина удовлетворяет нижней границе , найденной Уолшем для любой пары двоичных ПСП периода N=2k-1 в ансамбле М — последовательностей.

Следовательно, малые ПСП Касами длины N=2k-1 из ансамбля L=2k/2 оптимальны.

Большая система Касами получается при произвольном перемножении двух исходных М–последовательностей с периодом , образующих циклическую систему (2.52), на М–последовательность с периодом , где п — четно. Символически этот алгоритм можно записать в виде:

{Kij(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)} {D(i)∙ C(ν)}, (2.53)

где {А(ν)}, {B(ν)} — ПСП периода N, а {С(ν)} — ПСП периода N1; D(j), D(i) – символы сдвига, , .

При значении степени характеристического полинома исходных ПСП объем большой системы Кассами: ,

а при соответственно

При больших п объем большой системы Касами т.е. в раз больше объема нормальной системы. Максимальные пики нормированной ВКФ малой и больших систем Касами удовлетворяют соотношению , которое в 2 раза превышает эффективную оценку (2.14), полученную из условия ограниченности объема тела ВФН и в раз эффективную оценку (2.22) для СП.

Большие производно-циклические системы можно построить на посимвольном перемножении производящей последовательности {V} на последовательность Уолша {Wm} и на циклическую последовательность Голда {Gn} или вместо системы Голда можно использовать большую систему Касами {Kn} (2.53). В этом случае j-я ПСП определяется следующим образом:

{Aj}={V} {Wm} {Gn}

{Aj}={V} {Wm} {Kn}. (2.54)

Поскольку , то , т.е. объем системы сигналов для первой системы равен . Так как объем системы {Kn} равен то и объем второй системы равен . Однако характеристики ВКФ этих систем (2.54) неизвестны.

Известно, что среднее значение объема больших систем сигналов определяется нижней границей, которая, при допустимом уровне R0

Источник: https://cyberpedia.su/13x87f2.html

Взаимно-корреляционные пики последовательностей GMW

3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

Очевидно, что оценку (3.21) можно использовать только при (2 -1)/рі 2.Анализ я. показывает, что при pu=min{pj} 0 имеет наибольшее значение и для нечетных N является с наибольшей нижней границей максимального значения корреляционного пика, взятого по всему классу m-последовательностеЙ. Можно показать, что когда N четно и не кратно 3, то pu=3, a 2N-1 не кратно 9.

В этом случае dr принимает единственное значение: (2N-l)/3+l или 2(2N-l)/3+l. В результате получаем следующее полезное для практических приложений следствие. Следствие 3.1. Пусть N четно, не кратно 3 и удовлетворяет условиям Теоремы 3.1. Тогда все множество m-последовательностей может быть разбито на два не пересекающихся равномощных подмножества, связанных между собой децимацией (3.18).

Проиллюстрируем данное следствие на примере m-последовательностей значности 214-1=16383. В этом случае мощность М=756, dr=5461 и 0 (їй) =5631. Разделим пары, с связанные децимацией 5461 (а таких ровно 378), на два подмножества. В результате каждое будет содержать по 378 последовательностей с пиковым значением 897.

Это всего лишь в 3,5 раза превышает аналогичное значение для последовательностей Голда, обладающих худшими автокорреляционными функциями. Расчеты показывают, что при pi pu также могут существовать пары последовательностей со сверхвысокими пиками взаимной корреляции.

Например, при N=12, т=6 и pi =5 все пары последовательностей с децимациями 1639, 2458 и 3277 имеют корреляционный пик 0С 0 » 769; при N=18, т=9, р;=19 и Выражение (3.21) было получено в предположении минимального вклада в корреляционный пик строк с некратными ри номерами. Очевидно, что это крайний, граничный случай.

Если же исходить из равновероятности сдвигов в ненулевых строках декомпозиции, то реально пиковое значение будет больше. Более того, по меньшей мере, ри сдвигов между последовательностями {а,} и {bj} приводят к совпадению є/р„ строк их декомпозиций. А по Теореме 3.1 каждый такой пик должен быть не менее 0 . с Следовательно, Теорема 3.

1 гарантирует существование, по меньшей мере, ри пиков со значениями 0С. В таблице 3.1 приведены полученные в соответствие с формулой (3.21) значения с для N=6, 10, 12, 14, 15. Кроме того, в таблице приведены значения корреляционных пиков последовательностей с децимациями (5) для N=18 (ри=3) и N=21 (ри=7).

И хотя &с оказывается дальше от истинного значения лика, чем ь, тем не менее, это совершенно достоверное значение. Причем для случаев N=6, 10, 14 граница 0С даже совпадает со значениями некоторых вычисленных на компьютере сверхвысоких пиков. К сожалению, предлагаемый структурный метод неприменим для случаев N=p!, где р-простое, a t l -целое число, так как не выполняются условия Теоремы 3.1.

3.4. Взаимно-корреляционные пики последовательностей GMW Как уже отмечалось выше, в качестве базисных последовательностей при построении ПСП GMW, кроме ш-последовательностей, могут быть также выбраны любые другие идеальные ПСП, в том числе ПСП Холла, Лежандра, ПСП GMW меньшей значности, последовательности Бомера-Фридриксена [14] и др.

Очевидно, что описанный выше структурный подход может быть распространен также и на классы ПСП GMW.

Согласно [21,22,63] для построения ПСП GMW в декомпозиции т-последовательности с параметрами w=2m-l и E=2N-1/W, где N=mk и m 3, k 2, необходимо все нулевые строки, являющиеся сдвигами некоторой более короткой m-последовательности длины w, заместить на строки с теми самыми сдвигами, но уже другой базисной последовательности.

Причем эта базисная последовательность должна удовлетворять следующим двум условиям: — обладать двухуровневой ПАКФ; — не являться никаким сдвигом замещаемой короткой т-последовательности. Строки же, состоящие из одних нулей, остаются без изменения.

И хотя данный метод в силу его сложности на практике не применяется, он оказывается весьма эффективным при анализе ПВКФ последовательностей с описанной выше структурой. Действительно, из алгоритма построения ПСП GMW следует, что для всех №% удовлетворяющим условиям теоремы 3.1 при m lj, 0.

(g)=0j (m), где 0 , (g) и 0 , (m) соответственно значения пиков ПВКФ пар ПСП GMW и m-последовательностей при децимации (3.18). Этот результат может быть сформулирован в виде следующей теоремы [62]. Теорема 3.2. Пусть N 6 составное число, удовлетворяющее условиям Теоремы 3.1, а 0 (g) есть пиковое Пусть N четно, не кратно 3 и удовлетворяет условиям теоремы 3.1.

Тогда любой класс ПСП GMW можно разбить на два не пересекающихся равномощных подмножества, связанных между собой децимацией (3.18) при pi=3. На компьютере были исследованы ПВКФ ПСП GMW для всех 6 N 15 и некоторые для N=16. Результаты этих вычислений приведены в таблице 3.2. При этом рассматривались все возможные классы ПСП GMW [14], а пары последовательностей выбирались только в пределах одного и того же класса. Исследования показывают, что для N=6, 8,10, 12, 14 и 15 имеет место равенство 0 (g)=0 . (g), т.е. пиковое значение всецело определяется С и_ децимацией dr. Очень вероятно, что это может быть справедливо и при больших значениях N. При рассмотрении Таблицы 3.2 особо следует выделить случай N=12 с т=3, 4, 6, для которых 0 (g) имеет одно и то же значение, равное 1407. То, что это так, когда т=3 или 4, с следует непосредственно из Теоремы 2. Для случая т=6 условия Теоремы 3.2 не выполняются. Однако вследствие того, что сами строки в декомпозициях последовательностей {а } и {bj} в свою очередь представимы в виде декомпозиций с параметрами w=7 и =9 на базе одной и той же последовательности длины 7, результат оказывается таким же, как для т=3.

В 1984г. в майском номере журнала IEEE Transactions on Information Theory появилась знаменитая статья Шольца и Велча, посвященная исследованию последовательностей GMW [46] (впервые эти результаты были доложены на международном симпозиуме по теории информации в 1983г. в Канаде).

Более точно предметом исследования в [46] были последовательности GMW, строящиеся на основе m-последовательностей. При этом для построения последовательностей GMW использовалось представление линейных функционалов в виде следовых функций. Общий вид элементов этих последовательностей имеет вид: b„=fr(Kv(a,,)]r).

(4-1) где 0 r 2m-l, (г, 2т-1)=1, а а примитивный элемент из GF(2N). Очевидно, что когда г=1 данная формула является следовым представлением т-последовательности 2-1.

В соответствии с тем, что внутренняя функция в этом выражении является т-последовательностью над GF(2m) длины 2N-1, авторами была предложена следующая очевидная конструкция генератора последовательностей GMW, блок-схема которой представлена на Рис.4.5.

Данный генератор состоит из последовательно соединенных генератора m-последовательности над GF(2m) и ПЗУ объемом 2т , задающим закон отображения элементов GF(2m) в GF(2). В [46] приведен пример реализации генератора для последовательности GMW длины 63. Уже на основе данного примера видно, что математически это достаточно непростая задача.

Причем основная проблема состоит в построении q-ичной m-последовательности, которая при больших N переходит в разряд, трудно решаемых задач.

Возможно поэтому, касаясь вопроса генерации ПСП GMW, большинство авторов ограничиваются общими рассуждениями о простоте и компактности схемы генератора, явно уходя в сторону от вопроса его инженерной реализации.

Дальнейшие исследования показали, что число последовательностей с идеальными ПАКФ, формируемых с помощью данного генератора, может быть существенным образом увеличено за счет использования в качестве базисных других семейств идеальных последовательностей. Правда, при этом, как уже отмечалось выше, все такие новые последовательности получали совершенно другие названия, не имеющие ничего общего с «последовательностями GMW». И это несмотря на то, что все они соответствовали классам GMW-разностных множеств. Впервые на это было обращено внимание в работе [49], в которой на основании теории GMW разностных множеств было получено общее выражение для представления всех соответствующих этим разностным множествам последовательностей.

Касаясь практической реализации генератора [46], надо отметить, что, несмотря на свою достаточно простую и компактную структуру, его разработчику предстоит решить целый ряд далеко не тривиальных задач, обусловленных особенностями данного метода.

Остановимся на этом вопросе более подробно. Первая задача, которую необходимо решить, связана непосредственно с выбором примитивного полинома степени к над GF(2m).

Ведь возможна ситуация, когда в существующих таблицах полинома с такими параметрами может не оказаться.

Заметим, что синтез примитивного полинома является достаточно непростой математической задачей, которая обычно выполняется на компьютере с помощью специально составленных алгоритмов.

Следующая задача связана с построением самого генератора q-ичной ш-последовательности по имеющемуся примитивному полиному. Возникающие здесь трудности обусловлены необходимостью использования нетривиальных арифметических операций над GF(q). Очевидно, что и в этом случае также не обойтись без написания специальных компьютерных программ.

И, наконец, последняя по порядку, но не по сложности задача связана с разработкой ПЗУ генератора. Дело в том, что в силу метода построения структура ПЗУ полностью определяется элементами подполя GF(2m) поля GF(2 ), представленного в базисе 1, р, Р ,…

, Р»1 1, где р — примитивный элемент подполя GF(2m). Трудности, возникающие в связи с решением перечисленных задач, в значительной мере ограничивают практическое использование последовательностей GMW в технике связи.

Поэтому вполне своевременным представляется нахождение такого метода генерации, который бы способствовал более широкому их практическому применению.

Предлагаемый новый, более простой метод генерации последовательностей GMW основан на формировании сдвинутых копий двоичной т-последовательности значности v. При рассмотрении этого метода будем опираться на известные свойства линейных функционалов над полями Галуа [45].

Источник: https://studexpo.ru/542388/radioelektronika/vzaimno_korrelyatsionnye_piki_posledovatelnostey

8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами. Широкополосные сигналы и системы

3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности

8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях

8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей

8.4. Дополнение о конечных полях

8.5. Последовательности Лежандра

8.6. Вновь о бинарных кодах с хорошими апериодическими АКФ

8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности

Мотивация интереса к последовательностям с хорошей периодической АКФ не ограничивается лишь их привлекательностью как исходного материала для построения хороших апериодических последовательностей.

Для многих приложений характерно использование дискретных сигналов в периодическом варианте (непрерывная локация, навигация, пилотные каналы мобильной связи и т.п.), что предопределяет критическое влияние свойств периодической АКФ (ПАКФ) на качество функционирования системы.

Отметим также, что не существует никаких принципиальных ограничений к достижению нулевого уровня боковых лепестков ПАКФ ФМ сигналов, как это имело место в апериодической версии, поскольку в выражении

сумма при любом значении содержит слагаемых, которые потенциально могут скомпенсировать друг друга, обеспечивая нулевой результат. Тогда естественно стремление к отысканию ФМ кодовых последовательностей с идеальной ПАКФ, все боковые лепестки которой равны нулю

.

Дискретный видеосигнал с прямоугольными чипами, манипулированными кодом с подобными свойствами, также будет обладать идеальной ПАКФ: основные лепестки, повторяющиеся с периодом , и свободное от любых боковых лепестков пространство между ними (см. рисунок).

Аналогичным будет и отклик фильтра, согласованного с однопериодным сегментом сигнала. Следовательно, при идеальности ПАКФ имеет место идеальная (без боковых лепестков) временная компрессия сигнала согласованным фильтром. Иллюстрацией сказанному для радиосигнала служат диаграммы на рисунке.

Как и ранее, наиболее привлекательны в реализационном плане бинарные последовательности с идеальной ПАКФ. Простое необходимое условие существования бинарных кодов с идеальной ПАКФ может быть получено в результате суммирования значений ненормированной ПАКФ при всех возможных сдвигах :

где знак комплексного сопряжения опущен за ненадобностью, поскольку все , а

– постоянная составляющая (разность между числом «+1» и «–1» на одном периоде) кодовой последовательности . Поскольку последняя всегда принимает лишь целочисленные значения, а ПАКФ, как сумма «», может принять нулевое значение только при четном числе слагаемых (длине кода) , то необходимое условие идеальности периодической АКФ для бинарной последовательности имеет вид

Все подобные длины были проанализированы Турином в начале 60-х, который показал, что в диапазоне единственным бинарным кодом с идеальной ПАКФ является тривиальный код длины 4 вида:{+1 +1 +1 –1}.

Согласно более поздним результатам несуществование подобных последовательностей установлено вплоть до длин .

Возможность их существования за пределами названного диапазона представляется крайне сомнительной.

Очевидно, что в отсутствие бинарных кодов с идеальной периодической АКФ следующими по привлекательности являются последовательности, для которых принимает значения при , т.е. . Рассмотрим разность

,

в которой все ненулевые слагаемые равны двум, а их число всегда четно. Следовательно, указанная разность всегда кратна четырем

,

где t – целое.

Очевидно, можно надеяться на отыскание бинарных кодов со всеми положительными боковыми лепестками только при длинах вида и со всеми отрицательными при длинах , где – целое. Поскольку данные последовательности обладают теоретически минимальным уровнем боковых лепестков периодической АКФ для бинарных кодов нечетной длины, то их называют минимаксными.

Из двух возможных вариантов второй оказывается наиболее продуктивным. В настоящее время известно пять мощных регулярных правил генерирования минимаксных последовательностей с боковыми лепестками ПАКФ равными , два наиболее популярных из которых будут рассмотрены в дальнейшем.

8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях

Для объяснения вышеупомянутых конструкций минимаксных бинарных последовательностей необходимо некоторое начальное представления о конечных полях.

Назовем конечным полем (полем Галуа) конечное множество элементов, на котором определены две операции, именуемые (по аналогии с обычной арифметикой) сложением и умножением и обозначаемые привычными символами «+» и «∙».

В любом поле обязательно присутствуют нулевой «0» и единичный «1» элементы, которые оставляют любой элемент поля неизменным в операциях сложения и умножения соответственно. Таблицы сложения и умножения в поле строятся таким образом, чтобы указанные операции были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и обратимы.

Последнее означает, что определены также операции вычитания и деления на ненулевой элемент. В частности, у каждого элемента имеется противоположный по сложению, а для любого ненулевого существует обратный по умножению элемент. Очевидно, что поле представляет собой множество, в пределах которого операции с элементами подобны операциям с действительными числами в обычной арифметике.

Простейшим конечным полем является поле порядка 2 (число элементов поля), обозначаемое как GF(2), элементы которого «0» и «1» подчиняются правилам арифметики по модулю 2 (см. таблицу слева).

Введем в рассмотрение последовательность с элементами (символами) 0 и 1 из конечного поля , подчиняющуюся линейной рекурсии:

где коэффициенты – фиксированные константы, принадлежащие .

Элементы линейной последовательности вычисляются один за другим по правилам сложения и умножения в поле , причем каждый последующий определяется предшествующими, так что, задав начальных элементов , можно сгенерировать всю последовательность. Такая последовательность называется линейной (рекуррентной) последовательностью над полем памяти .

Любая линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) может быть сформирована с помощью регистра сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС), структурная схема которого представлена на рисунке справа.

Регистр состоит из двоичных ячеек памяти (разрядов, триггеров), обозначенных квадратами, каждая из которых имеет 2 возможных состояния и хранит тот или иной элемент в течение тактового интервала. Схема тактовой синхронизации (на рисунке не показана) управляет работой регистра таким образом, что после каждого тактового импульса состояние любого разряда передается следующему слева направо.

Схема обратной связи содержит умножители элементов (состояний), хранящихся в разрядах, на константы и сумматоров. Обе арифметические операции выполняются, разумеется, по правилам поля .

Предположим, что начальные состояния (т.е. начальные символы последовательности) записаны в разряды регистра слева направо. Тогда состояние выхода петли обратной связи определится равенством

и после подачи тактового импульса содержимое ячеек регистра сдвига примет вид , генерируя состояние обратной связи

,

так что после подачи тактового импульса состояние обратной связи будет и т.д.

Обобщая, можно видеть, что в каждом такте текущее содержимое регистра формирует состояние обратной связи , которое является следующим символов ЛРП и входным сигналов для первой ячейки регистра сдвига.

Таким образом, полностью линейная рекуррентная последовательность может быть непосредственно считана с крайнего правого разряда, начиная с самого первого символа , или с любого другого разряда, но с определенным опережением во времени.

Поскольку число различных состояний регистра конечно (не более ), то любая линейная рекуррентная последовательность оказывается периодической (по крайней мере, после некоторого переходного процесса). Если регистр окажется в нулевом состоянии (нули во всех разрядах), все последующие символы будут также нулевыми, т.е.

генерируемая линейная последовательность окажется вырожденной, состоящей только из нулей. Понятно, что подобная последовательность практически бессмысленна, так что нулевое состояние регистра в процессе генерирования последовательности должно быть исключено.

В итоге остается самое большее разрешенных состояний регистра, означая, что максимальный период (длина) линейной последовательности не может быть больше .

Линейные рекуррентные последовательности, имеющие максимально возможный период

,

играют особую роль в современных информационных технологиях и называются последовательностями максимальной длины или просто m-последовательностями.

Будучи полностью детерминированными, они обладают многими свойствами, присущими случайным последовательностям типа последовательности исходов подбрасывания правильной монеты, поэтому m–последовательности служат примером псевдошумовой последовательности.

Два следующих замечательных свойства являются ключевыми для понимания ценности –последовательностей в плане построения кодов с хорошей автокорреляцией.

1. Свойство уравновешенности. На одном периоде –последовательности число единиц всегда превышает число нулей ровно на единицу

.

2. Свойство сдвига и сложения. Поэлементное сложение (разумеется, по модулю ) некоторой -последовательности и ее копии, циклически сдвинутой на позиций, дает нулевую последовательность, если взаимный сдвиг m кратен периоду N:

– целое,

либо некоторую новую сдвинутую (на l позиций) копию исходной -последовательности в противном случае:

.

8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей

Причиной особого интереса к m–последовательностям служат их хорошие автокорреляционные свойства. Преобразуем –последовательность в бинарный код посредством отображения по следующему правилу

.

Полученная таким образом последовательность действительных бинарных символов также назовем бинарной -последовательности. Для устранения риска перепутывания можно при необходимости использовать дополнительную маркировку типа «бинарная последовательность» или «бинарная последовательность». Отличительной особенностью бинарных -последовательностей служит принадлежность их к числу минимаксных

.

Теперь становится очевидным, что дискретный видеосигнал, манипулированный подобного рода бинарным кодом, будет обладать периодической АКФ, представленной на рисунке слева: главные пики уровня , повторяющиеся с периодом и равномерный фон отрицательных боковых лепестков на уровне .

Для генерирования -последовательности с помощью регистра сдвига памяти необходимо и достаточно использовать в рекурсии (или РСЛОС) множители , являющиеся коэффициентами специального полинома степени n

,

называемого примитивным полиномом. Примитивные полиномы существуют для любого натурального , обеспечивая тем самым существование минимаксных бинарных кодов на основе – последовательности любого периода вида

Примитивные полиномы подробно табулированы в ряде руководств по современной алгебре и теории кодирования, а также в некоторых книгах по широкополосной связи.

Пример 8.3.1. Пусть . Из таблиц найдем примитивный полином третьей степени:

,

определяющий коэффициенты линейной рекурсии :

и структуру РСЛОС генератора на рисунке ниже.

При начальном состоянии регистра порождается m–последовательность периода .

Легко увидеть, что на одном периоде последовательности число единиц на единицу превосходит число нулей .

Посимвольное сложение исходной последовательности с ее сдвинутой на одну позицию влево копией дает последовательность, которая является копией исходной, но с другим циклическим сдвигом. Иначе говоря, .

И наконец, прямая проверка (достаточно проверить только при сдвигах ) показывает, что периодическая АКФ бинарного кода принимает значения

Структура фильтра, согласованного с одним периодом сигнала, манипулированного полученным бинарным кодом, представлена на рисунке справа. Эпюры напряжений в характерных точках показаны на рисунке ниже.

Можно видеть, что выходной отклик содержит главные пики треугольной формы, повторяющиеся с периодом , и равномерный фон отрицательных боковых лепестков, уровень которых в семь раз меньше уровня главных пиков.

Дискретные сигналы, основанные на бинарных -последовательностях чрезвычайно популярны в современных информационных системах, благодаря оптимальным периодическим корреляционным свойствам и простоте формирования и обработки. В то же время, множество длин, при которых данные последовательности существуют, достаточно разрежено. По этой причине целесообразно исследовать еще один интересный класс бинарных минимаксных последовательностей.

8.4. Дополнение о конечных полях

Расширим немного наши знания о конечных полях.

Аналогично арифметике по модулю два можно использовать правила сложения и умножения по модулю числа , удерживая после обычных операций сложения и умножения целых чисел только остаток от деления результата на целое . Если является простым числом, то эти операции порождают конечное поле порядка (т.е. содержит элементов), называемое простым полем.

Пример 8.4.1. Взяв и составив таблицы сложения и умножения (см. таблицу справа), содержащие остатки от деления на 5, приходим к операциям, обладающим всеми характерными свойствами поля: эти операции удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Кроме того, присутствует нулевой (не изменяющий результата сложения) и единичный (не изменяющий результата умножения) элементы.

Данные операции являются обратимыми: любому элементу можно сопоставить обратный элемент по сложению , такой что , а для любого ненулевого элемента существует обратный элемент по умножению .

В то же время не существует поля с арифметикой по модулю 4: элемент не имеет обратного по умножению элемента, поскольку обычное произведение любого целого на 2 дает четное число, остаток от деления которого на 4 также будет четным.

В любом поле автоматически присутствуют степени любого элемента с обычными правилами обращения с ними:

.

Однако в отличие от поля вещественных чисел, в конечном поле имеется конечное число различных степеней элемента , поскольку общее число элементов поля конечно.

Специфический элемент поля , степени которого пробегают все ненулевые элементы поля называется примитивным. Следовательно, все степени примитивного элемента вида: различны и совпадают с некоторым ненулевым элементом поля.

Можно доказать, что в любом конечном поле существует (не единственный) примитивный элемент.

Пример 8.4.1. (продолжение) Элемент 2 в поле является примитивным, поскольку его степеней , , , , , … различны и, как видно, исчерпывают все ненулевые элементы поля . С другой стороны, элемент 4 не является примитивным, т. к. , , и элементы 2 и 3 не являются некоторой степенью 4.

Поскольку любой ненулевой элемент поля есть некоторая степень примитивного элемента , то вполне естественно назвать показатель этой степени логарифмом элемента по основанию :

.

Двузначным характером (символом Лежандра) ненулевого элемента поля называется функция, принимающая значения и в зависимости от четности или нечетности логарифма элемента :

В дальнейшем понадобятся следующие свойства двузначного характера.

1. Характер единицы поля равен единице: .

2. Характер – мультипликативная функция, иными словами, характер произведения ненулевых элементов есть произведение их характеров: .

3. Свойство уравновешенности: сумма характеров всех ненулевых элементов поля равна нулю: .

4. Характер элемента, противоположного единице, т.е. принимает значения :

8.5. Последовательности Лежандра

Бинарные последовательности Лежандра формируются на основе двузначного характера. Возьмем простое и построим простое поле . Отождествим его элементы с номерами позиций символов периодической бинарной последовательности периода . Тогда для периодической версии последовательности Лежандра правило формирования определяется в виде

Используя свойства двузначного характера, достаточно просто доказать, что ПАКФ последовательности Лежандра длины

для любого , т.е. в точности совпадает с ПАКФ m–последовательности

.

Следует отметить, что присвоение первому элементу последовательности значения –1 приведет к тому же конечному результату.

Пример 8.5.1. Длина принадлежит множеству вида . В поле элемент является примитивным, поскольку возведение его в степень 0, 1, …, 5 генерирует все различные ненулевые элементы : .

Как прямо видно из этого ряда, логарифмы элементов 1, 2, и 4 четны, тогда как элементов 3, 5 и 6 – нечетны. Следовательно, , и .

Расстановка символов +1 на позициях и –1 на позициях дает последовательность Лежандра:

.

Вычисления, поясняемые таблицей слева, подтверждают, что все боковые лепестки ПАКФ данной последовательности, равны –1.

Последовательности Лежандра образуют достаточно мощный класс бинарных кодов с минимаксной периодической АКФ. Так например, в диапазоне от 50 до 1500 имеется только пять длин, для которых существуют -последовательности, тогда как для последовательностей Лежандра это количество равно 114.

8.6. Вновь о бинарных кодах с хорошими апериодическими АКФ

Сведения, накопленные о бинарных последовательностях с хорошими периодическими АКФ, дают теперь возможность вернуться к идее, состоящей в использовании таких последовательностей в качестве исходного материала для поиска кодов с нужными свойствами апериодических автокорреляций. Как было показано ранее, хорошими апериодическими свойствами могут обладать только последовательности с хорошими периодическими корреляционными свойствами.

Рассмотрим некоторую кодовую последовательность длины . Любой ее циклический сдвиг , имеет ту же периодическую АКФ, что и исходный код, так как периодическая АКФ инвариантна к циклическому сдвигу.

Апериодическая же АКФ циклически сдвинутой копии может отличаться от АКФ первоначальной последовательности.

Данный факт служит основой широко распространенного алгоритма поиска кодов с приемлемой апериодической АКФ, описанного ниже.

1). Для требуемой длины тем или иным способом отбирается некоторое множество последовательностей-кандидатов, имеющих хорошие периодические АКФ. Пусть, например, их число равно .

2). На втором этапе осуществляется полный перебор по критерию минимума максимального бокового лепестка апериодической АКФ среди всех однопериодных сегментов последовательностей-кандидатов. Очевидно, что всего необходимо произвести тестовых проверок.

3). Итогом поиска является один или несколько сегментов одной или нескольких последовательностей, имеющий минимальное значение среди всех последовательностей, отобранных на первом этапе. Разумеется, нет никаких гарантий глобальной оптимальности полученного кода среди всех возможных бинарных последовательностей данной длины.

Пример 8.6.1. Для длины , удовлетворяющей условию существования -последовательности, имеются два примитивных бинарных полинома степени 3: и . Непосредственная проверка показывает, что -последовательности, генерируемые ими, зеркальны друг другу, т.е. одна из них получается чтением другой справа налево.

К подобному преобразованию инвариантны и периодическая, и апериодическая АКФ, поэтому в множество кандидатов достаточно включить только одну -последовательность, скажем, из примера 8.3.1: . Кроме того, является простым числом вида , т.е. последовательность Лежандра данной длины также существует, а именно последовательность примера 8.5.

1: , к которой можно добавить ее модификацию с первым символом, замененным на –1. Последняя полностью повторяет отобранную -последовательность, тогда как первая – после замены знаков всех элементов – совпадает с циклически сдвинутой отброшенной -последовательностью.

Поскольку изменение полярности вновь не влияет на периодическую и апериодическую АКФ, лишь одна из четырех рассмотренных минимаксных последовательностей достаточна для включения в множество кандидатов. Пусть ею будет последовательность Лежандра, начинающаяся символом +1.

Вычисление ее апериодической АКФ дает следующие значения , и . После циклического сдвига на одну позицию влево приходим к последовательности , для которой , , т.е. максимальный апериодический боковой лепесток хуже, чем у исходной. Следующий циклический сдвиг дает и , , т.е. не улучшает первоначальный результат.

После следующего сдвига приходим к последовательности , имеющей апериодическую АКФ с боковыми лепестками , т.е. с . Данная последовательность является глобально оптимальной среди всех ФМ кодов, поскольку ни один из таковых не может обладать меньшим максимальным апериодическим боковым лепестком.

В действительности, найден бинарный код Баркера длины 7.

На основании описанной выше процедуры было найдено множество бинарных кодов с приемлемыми свойствами апериодической АКФ длин вплоть до тысяч, уровень боковых лепестков которых хорошо аппроксимируется соотношением

.

Для иллюстрации продуктивности данного метода на рисунке следующего слайда представлены апериодические АКФ двух бинарных кодов длины . Первый (a) получен в результате укорочения последовательности Лежандра длины и последующей оптимизации его циклических сдвигов, как описывалось ранее. Как видно, боковые лепестки данной АКФ имеют достаточно низкий уровень или дБ.

Для сравнения на рисунке (b) представлена АКФ кода, используемого в 3G системе мобильной связи стандарта WCDMA для первичной синхронизации (поиска сот), который обладает большим уровнем боковых лепестков или дБ.

Конечно, необходимо иметь в виду, что при выборе кода для поиска соты в WCDMA приходилось считаться со многими факторами, включая реализационные, которые могли оказаться важнее хорошей автокорреляции.

Источник: https://siblec.ru/telekommunikatsii/shirokopolosnye-signaly-i-sistemy/8-binarnye-posledovatelnosti-s-optimalnymi-periodicheskimi-avtokorrelyatsionnymi-svojstvami

3.3. М-последовательности. Основные свойства

3.3. Взаимно-корреляционные пики т-последовательностей

Макеты страниц

Среди фазоманипулированных сигналов особое место занимают сигналы, кодовые последовательности которых являются последовательностями максимальной длины или М-последовательностя-ми. Такие последовательности обладают следующими основными свойствами:

1. М-последовательность является периодической с периодом, состоящим из импульсов (символов).

2. Боковые пики периодической автокорреляционной функции сигналов, образованных М-последовательностью, равны

3. М-последовательность в общем случае состоит из нескольких видов импульсов (например, импульсы могут отличаться начальными фазам и, несущими частотами и т. д.). Импульсы различного вида встречаются в периоде примерно одинаковое число раз, т. е. все импульсы распределяются в периоде равновероятно. Вследствие этого М-последовательности называют часто псевдослучайными.

4. Формируются М-последовательности с помощью линейных переключательных схем на основе сдвигающих регистров. При этом, если применяется регистр с разрядами и в -последовательности используются различных видов импульсов (отличающихся, например фазами), то

Число разрядов регистра Следовательно, значитательное увеличение числа импульсов в периоде М-последова-вательности вызывает незначительное увеличение числа разрядов регистра, так как зависимость от является логарифмической.

5. Автокорреляционная функция усеченной М-последовательности, под которой понимается непериодическая последовательность длиной в период имеет величину боковых пиков, близкую к Поэтому с ростом величина боковых пиков уменьшается.

Благодаря перечисленным свойствам М-последовательности широко применяют в радиотехнических системах. Для пояснения этих свойств рассмотрим пример.

Допустим, что сдвигающий регистр (рис. 3.14) состоит из трех триггерных ячеек которые выполняют роль

дискретных элементов задержек, и сумматора. На триггеры поступают сдвигающие импульсы, которые рис. 3.13 не доказаны. Они следуют с тактовой частотой Каждый тактовый импульс вызывает изменение состояния (напряжения на выходе) всех триггеров.

При этом напряжение на выходе каждого триггера (символ) становится равным напряжению (символу) на его входе для предыдущего такта. Символы могут принимать два значения, которые условно обозначим 0 и 1. При суммировании любых комбинаций входных символов на выходе сумматора получаются только символы 0 и 1.

Правило суммирования символов в двоичной системе счисления (с двумя (возможными значениями символов) по модулю определяется табл. 3.3.

Таблица 3.3. Суммирование по

Рис. 3.14. Генератор М-последовательности с

Выясним, в каких состояниях может находиться схема, представленная на рис. 3.14. Предположим, что в исходном состоянии символ на одном из выходов триггеров отличается от нуля, например символ на выходе триггера имеет значение 1, а на выходе и значение 0.

Тогда исходное состояние сдвигающего регистра характеризуется комбинацией выходных символов 100. На входе 77 символ равен 0, так как согласно с табл. 3.

3 символ на выходе сумматора равен С поступлением на вход схемы очередного сдвигающего импульса символы со входов триггеров «переходят» на их выходы.

Новое установившееся состояние регистра описывается комбинацией выходных символов На входе появляется 1, так как в соответствии с табл. 3.3 выходной символ сумматора равен Аналогично определяются все состояния регистра, приведенные в табл. 3.4.

Из рассмотрения табл. 3.4 видно, что состояния регистра (символы на выходе различны для тактов 1—7, а для последующих тактов они повторяются. Так как число разрядов регистра а основание системы счисления (число используемых символов) то число возможных различных состояний регистра

В табл. 3.4 отсутствует нулевая комбинация 000, так как её наличие согласно табл. 3.3 приводит к обращению в нуль всех символов во всех остальных комбинациях. Поэтому в табл. 3.4 приведены только возможные для нормальной работы схемы (рис. 3.14) состояния регистра, число которых После

Таблица 3.4. Состояния регистра

семи тактов состояния регистра повторяются. Если символы непрерывно считывать со входа 77, то получим периодическую последовательность

с периодом, равным Отметим, что символы можно считывать с выхода любого триггера. В этом случае получаются последовательности, сдвинутые во времени (табл. 3.4).

Подчеркнем, что период последовательности (3.33) является максимально возможным для данного числа разрядов (триггеров) схемы рис. 3.14, и выбранного основания системы счисления. Это следует из того, что в регистре последовательно сменяются все возможные состояния, кроме нулевого. Период для последовательности (3.33) совпадает со значением, определяемым формулой (3.32),

Необходимо отметить, что при заданных период последовательностей вида (3.33) определяется схемой включения отводов сдвигающего регистра (выходов триггеров) в цепь обратной связи. Он может быть получен и меньше максимально возможного.

Выбор соединений отводов сдвигающего регистра в цепи обратной связи для получения максимального периода последовательности при заданном числе разрядов регистра и основания системы счисления к настоящему моменту полностью определен и решается с помощью таблиц неприводимых многочленов.

При рассмотрении работы схемы рис. 3.14 было сделано допущение, что исходное состояние регистра характеризуется комбинацией 100. Из табл. 3.4 видно, что в качестве исходного можно взять любое состояние регистра. Это вызовет лишь сдвиг последовательности (3.33) во времени.

Число единиц и нулей в периоде последовательности (3.33) соответственно причем Отметим, что отличие между и на единицу в последовательностях вида (3.33) имеет общий характер. В общем случае при число единиц в последовательности равно а число нулей

Сумма двух Мчпоследователыюсгей, сдвинутых друг относительно друга, является М-последовательностью. В этом можно

убедиться, суммируя согласно правилам табл. 3.3 последовательность (3.33) и, например, М-тос ледоват ост с выхода на рис. 3.14, т. е.

Это является следствием того, что сдвинутые М-последова-тельности можно получить с помощью одной и той же схемы.

Фазоманипулированный сигнал с помощью М-последователь-ностей формируется следующим образом. Каждому символу последовательности ставится в соответствие радиоимпульс со своей начальной фазой. В двоичной системе счисления это соответствие можно определить как

где двойная стрелка означает соответствие.

Таблица 3.5. Умножение символов

В соответствии с (3.35) табл. 3.3 сложения символов 0 и 1 превращается в таблицу умножения символов 1 и —1 (табл. 3.5).

АКФ периодического ФМ сигнала определяется согласно (3.25), где Обозначая символы М-последовательности (3.33) через и сравнивая табл. 3.3 и 3.5, замечаем, что

Если для любого то сумма двух М-последовательностей является тоже М-последовательностью. Но в ней число единиц в периоде на единицу больше числа нулей. Поэтому сумма по всем при будет равна единице, выражении для АКФ (3.25) сумма будет равна согласно При для любого временной сдвиг между двумя -последовательностями равен нулю. При этом из (3.25) получаем, что

Объединяя полученные результаты, получаем

где

На рис. 3.15, а изображена М-последовательность с на рис. 3.15, б — периодическая АКФ, дискретные значения которой построены согласно (3.37), на рис. 3.15, в — апериодическая АКФ.

Рассмотренный пример подтвердил основные особенности М-последовательности.

Прежде чем рассматривать формирование М-последовательностей,

обратимся к принципам формирования произвольных последовательностей с помощью цифровых автоматов.

Цифровые автоматы формирования кодовых последовательностей с заданным периодом. С помощью цифровых автоматов можно Сформировать кодовую последовательность с заранее заданным периодом

Рис. 3.15. М-гюследовательность с (а), периодическая АКФ (б), апериодическая АКФ (в)

Цифровой автомат [13], предназначенный для формирования двоичной кодовой последовательности (рис. 3.16), состоит из сдвигающего регистра с элементами задержки (на рис. 3.16 триггера дешифратора (ДШ) заданной кодовой комбинации из двоичных символов, сумматора по и триггера Т для дополнительной задержки на один такт. На рис. 3.16

Рис. 3.16. Цифровой автомат формирования двоичной последовательности с периодом

не показан генератор тактовых импульсов, которые поступают на все триггеры и в соответствии с тактовой частотой продвигают информацию со входа каждого триггера на его выход.

Дешифратор опознает заданную кодовую комбинацию, и после опознания формирует двоичную единицу, поступающую на вход сумматора по На два других входа сумматора поступают двоичные символы с выходов двух триггеров сдвигающего регистра.

Период последовательности определяется числом триггеров в сдвигающем регистре, видом кодовой комбинации, которую опознает дешифратор, и номерами триггеров, с выходов которых символы поступают на вход сумматора по Цифровой автомат рис. 3.

16 формирует последовательность с периодом при заданной кодовой комбинации 001111. Период кодовой последовательности и число триггеров в сдвигающем регистре связаны неравенством

В табл. 3.6 [13] приведены параметры цифрового автомата, формирующего кодовые последовательности с заданным периодом, в том числе период номера отводов сдвигающего регистра, заданная кодовая комбинация.

Для М-последовательностей нет необходимости в дешифраторе (см. рис. 3.14), поэтому в столбце «Кодовая последовательность» для оследовательностей кодовые комбинации не указаны. В табл. 3.

6 приведены параметры цифровых автоматов для В работе ] приведены параметры 2047.

Цифровой автомат формирования М-последовательностей. Общая схема цифрового автомата, формирующего М-последовательность, приведена на рис. 3.17.

Рис. 3.17. Цифровой автомат формирования М-последова-тельности

Его основу составляет сдвигающий регистр с триггерами , которые осуществляют задержку входного символа на один такт длительностью .

Допустим, что используются различных символов: которые образуют конечное множество символов Символы на выходах триггеров при такте обозначены через причем Символ на входе первого триггера обозначен Символ на выходе триггера на такте , так как с каждым тактом символ со входа «переходит» на выход.

Символы с выходов триггеров поступают на умножители, с выходов которых снимают символы Множители Поэтому, если операция умножения в множителе производится по модулю то символы

(кликните для просмотра скана)

Окончание табл. 3.6 (см. скан)

Смысл умножения по модулю становится понятным гари рассмотрении сравнения двух чисел по третьему числу (модулю). Два целых числа а и называются сравнимыми по модулю если при делении обоих чисел на их остатки равны. Сравнение двух чисел обозначается как

Остаток от деления любого числа на всегда меньше и лежит в пределах от 0 до Например, если то , так как остатки от деления обоих чисел равны двум. Сравнение (3.

39) означает, что разность делится на без остатка, что иногда записывается Сравнимость двух чисел по модулю позволяет записать их в следующем виде: где любые целые числа; остаток, .

В приведенном ранее примере Таким образом, сравнение по модулю означает перевод произвольного целого числа в конечное множество состоящее из элементов.

Умножение двух чисел по модулю производится следующим образом. Два числа перемножаются обычным образом, а их произведение переводится в конечное множество с помощью сравнения по модулю Умножение двух чисел по модулю записывается как при . Например, если то и для , т. е. число 8, которого нет в множестве переводится в число 3. Правило умножения двух чисел по модулю 5 определяется табл. 3.7.

Отметим, что каждая строка и столбец таблицы состоят из всех возможных символов множества содержат, за исключением нулевого столбца и строки, одинаковых символов.

Это — является следствием того, что в качестве модуля взято простое число 5. Если составное число, то при умножении в одной строке или столбце могут оказаться одинаковые числа, т. е. операция умножения не будет однозначной.

Для сохранения однозначности в качестве модуля берут простые числа.

Таблица 3.7. Умножение по

Таблица 3.8. Сложение по

Отметим, что умножение любого числа на нуль означает, что символ на выходе умножителя всегда (равен нулю. Это эквивалентно разрыву цепи между выходом триггера и сумматором. Следовательно, умножитель может быть опущен. Например, при (символы 0 и 1) множитель может принимать значение или О, или 1, т. е.

выходы триггеров или подсоединены к сумматорам, или нет. После умножения суммирование производится также по модулю Сумма двух целых чисел переводится с помощью сравнения в конечное множество т. е. для Для примера в табл. 3.8 приведено правило сложения по модулю 5.

Следовательно, в результате операций умножения и сложения получаются только элементы множества

Возвращаясь к работе сдвигающего регистра (см. рис. 3.17), можно записать, что символ на входе такте равен

Выражение (3.40) является линейным рекуррентным уравнением. Оно позволяет по известным символам на выходах триггеров найти символ который в последующем такте перейдет на выход .

Для такта состояние регистра характеризуется переменными, которые можно записать как

Анализ работы цифрового автомата формирования последовательности на основе рекуррентного уравнения (3.40) показывает, что работа этого автомата полностью определяется характеристическим многочленом

коэффициенты которого связаны с множителями следующим соотношением:

Отрицательные значения можно свести с помощью сравнения по к положительному числу множества

Для двоичных М-последовательностей, состоящих из символов множители и коэффициенты согласно (3.43) равны, т. е. причем

Таким образом, для определения структуры цифрового автомата необходимо знать характеристический многочлен степени Из теории М-последовательностей известно, что характеристический многочлен степени во-первых, должен быть неприводимым, т. е.

его нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней, а во-вторых, он должен быть первообразным (примитивным) относительно двучлена т. е. характеристический многочлен должен делить без остатка.

Поэтому характеристический многочлен является первообразным корнем уравнения Если характеристический многочлен является первообразным, то он является и неприводимым.

Таким образом, чтобы при заданных определить структуру регистра для формирования М-последовательности с периодом необходимо в качестве характеристического многочлена взять первообразный многочлен степени

Поскольку двоичные М-последовательности играли и играют особо важную роль в радиотехнических системах, то их свойства были изучены достаточно глубоко, в том числе и характеристические многочлены. Известны таблицы (см., например, [14]), в которых приведены неприводимые многочлены до степени В табл. 3.

9 приведены в двоичной форме коэффициенты характеристических многочленов [15] для т. е. совпадающие с множителями в схеме цифрового автомата (рис. 3.17), т. е. Характеристическому многочлену в табл. 3.9 соответствует последовательность , представленных в виде 1 или 0.

В каждом столбце указана степень многочлена и его коэффициенты. В табл. 3.9 приведены только те характеристические многочлены, которые порождают М-последовательности. Соответственно, период М-последовательности Знание коэффициентов позволяет однозначно построить цифровой автомат формирования М-последо-вательностей.

Если то выход триггера подключен к сумматору по если то выход триггера к сумматору по не подключен.

(кликните для просмотра скана)

Окончание табл. 3.9 (см. скан)

В табл. 3.9 приведены значения коэффициента Коэффициент всегда по определению. Для определения структуры цифрового автомата, изображенного на рис. 3.17, необходимо учитывать коэффициенты

Для примера на рис. 3.18 изображена схема цифрового автомата формирования М-последовательности с В качестве характеристического многочлена взят многочлен с коэффициентами 10000001001 (первый в столбце с табл. 3.9). В соответствии с коэффициентами многочлена на

Рис. 3.18. Цифровой автомат формирования М-последовательностн с периодом

Таблица 3.10. Число М-последователыгостей (см. скан)

сумматор по поступают символы с выходов 7-го и 10-го триггеров.

Число М-последовательностей определяется следующим выражением:

где функция Эйлера (число чисел в ряду взаимно простых с числом число разрядов в сдвигающем регистре. Если простое число, то Значения для различных приведены в табл. 3.10 [4, 15].

В табл. 3.11 приведены все периоды М-последовательностей для в виде разложения на простые множители [14], из которой следует, что не все периоды М-последовательностей являются простыми числами. Это и объясняет нелинейный характер числа от

Длительность М-последовательности где согласно (3.32), то — длительность одиночного импульса (символа). Для двоичных М-последовательностей Если тактовая

Таблица 3.11. (см. скан) Разложение на простые множители

Таблица 3.12. (см. скан) Периоды М-последовательностей различной длины стактовой частотой следования 1 МГц

частота в сдвигающем регистре то табл. 3.12 приведены длительности периода М-последовательности для с тактовой частотой [7].

Характеристики апериодических корреляционных функций. Периодическая АКФ последовательностей имеет характерный вид, представленный на рис. 3.15.

Боковые пики ПАКФ равны Поскольку -последовательности достаточно просто формируются и обладают такими малыми боковыми пиками в периодическом режиме, то они с самого открытия до настоящего времени находятся под пристальным вниманием разработчиков радиотехнических систем.

Одним из главных «направлений исследований является изучение свойств М-последовательностей в апериодичеоком режиме, что характерно для передачи информации в системах связи. К настоящему времени накоплены сведения по корреляционным свойствам М-последовательностей в апериодическом режиме — как по АКФ, так и по ВКФ. Имеются многочисленные данные по конкретным АКФ и ВКФ

Рис. 3.19. АКФ М-последовательности

М-последовательностей различной длины, а также обобщенные характеристики корреляционных функций. На рис. 3.19 изображен пример АКФ М-последовательности с Из рис. 3.19 видно, что боковые пики АКФ В апериодическом режиме существенно больше боковых пиков ПАКФ. Приведем лишь основные характеристики КФ М-последовательностей.

Таблица 3.13. Характеристики корреляционных функций -последовательностей и случайных последовательностей

В табл. 3.13 [16] приведены основные характеристики корреляционных функций (АКФ и ВКФ) М-последовательностей и случайных последовательностей. Последние приведены для сравнения их свойств со свойствами М-последовательностей. В качестве характеристик взяты следующие:

среднеквадратическое значение боковых пиков определяемое через дисперсию

среднее значение модулей боковых пиков

среднеквадратичное значение модулей боковых пиков, определяемое через дисперсию

а также значение максимального бокового пика . В табл. 3.13 все характеристики приведены в ненормированном виде, т. е. умножены на В результате цифры, приведенные в табл 3.

13, характеризуют превышение уровня Отметим, что среднее значение боковых пиков Во второй строке табл. 3.13 приведены характеристики АКФ, а в третьей строке — характеристики ВКФ М-последовательностей [16].

Из сравнения цифровых данных второй и третьей строк следует, что ВКФ М-последовательностей имеет большие боковые пики по

сравнению с боковыми ликами АКФ. В четвертой строке приведены характеристики КФ (АКФ и ВКФ) случайных последовательностей, относительно которых было предположено, что их КФ распределены по нормальному закону

с дисперсией Соответственно Как видно из сравнения третьей и четвертой строк табл. 3.

13, характеристики ВКФ М-последовательностей близки к статистическим характеристикам случайных последовательностей, что и является обоснованием названия «псевдослучайные последовательности» для М-последовательностей и им подобных. На рис. 3.

20, а [16] приведен пример ВКФ двух М-последовательностей длиной Вместе с тем, некоторые пары М-последовательностей имеют периодические ВКФ, отличающиеся от случайных, так как такие ВКФ имеют всего три уровня (рис. 3.20, б):

Рис. 3.20. ВКФ и ПВКФ М-последовательностей

М-последовательности, имеющие трехуровневые ПВКФ, называются также последовательностями Голда [5, 16, 17]. Более подробно они будут рассмотрены в параграфе, посвященном системам сигналов.

Отметим, что последовательности Голда имеют ПВКФ, максимальные значения которых близки к Вместе с тем, надо подчеркнуть, что последовательности Голда составляют только часть М-последовательностей, т. е.

их число мало.

Функция неопределенности. Можно показать, что исходя из ограниченности объема тела неопределенности произвольного сигнала (2.34), среднеквадратичное значение ФН равно На рис. 3.21 приведена ФН М-последовательности с N=15.

Рис. 3.21. Функция неопределенности М-последовательности

Максимальный боковой пик равен 0,33. При статистическая оценка т. е. реальные боковые пики превышают в 1,38 раза статистическую оценку. Как показывают многочисленные расчеты, для различных М-последовательностей уровень максимальных пиков может превышать значение раз.

Источник: http://scask.ru/n_book_ssn.php?id=18

Scicenter1
Добавить комментарий