Аксиоматический метод.: Аксиоматика — это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод.:  Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

Аксиоматический метод, способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Назначение А. м.

состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе А. м. обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия.

В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во многих науках. Но, несмотря на попытки систематического применения А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др.

наук, главной областью его приложения до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).

  А. м прошёл в своём историческом развитии 3 стадии. Первая связана с построением геометрии в Древней Греции. Основное сочинение этого периода — «Начала» Евклида (хотя, по-видимому, и до него Пифагор, которому приписывается открытие А. м., а затем Платон и его ученики немало сделали для развития геометрии на основе А. м.).

В то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность которых «самоочевидна», так что истинность теорем считалась гарантированной безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими средствами при построении геометрии на основе аксиом.

Он охотно прибегал к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения и равенства геометрических объектов.

Впрочем, во времена Евклида такие обращения к интуиции могли и не восприниматься как выход за пределы логики — прежде всего потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована (хотя частичная формализация логики, осуществленная Аристотелем и его последователями, и была некоторым приближением к аксиоматизации). Не было и достаточной отчётливости во введении первоначальных понятий и при определении новых понятий.

  Начало второй стадии в истории А. м. связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским, Я. Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой. Это открытие разрушило убеждение в абсолютной («очевидной» или «априорной») истинности аксиом и основанных на них научных теорий.

Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности в том или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории как таковой и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими вне её.

Появилось много (и притом различных) геометрических, арифметических и алгебраических теорий, которые строились средствами А. м. (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана и др.). Эта стадия развития А. м. завершилась созданием аксиоматических систем арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления высказываний и предикатов (А. Н.

Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) и аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, 1908).

  Гильбертовская аксиоматизация геометрии позволила Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии посредством указания интерпретации понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида, или, как говорят, построения модели первой средствами второй.

Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим методом установления относительной непротиворечивости аксиоматических теорий. В то же время со всей отчётливостью выявилось, что, кроме «естественной» интерпретации (т. е. той, ради уточнения и развития которой данная теория строилась), у аксиоматической теории могут быть и др.

интерпретации, причём её можно с равным основанием считать «говорящей» о каждой из них.

  Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом привели Гильберта к концепции формального А. м., характерной для третьей, современной его стадии.

Основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам — как общелогическим, так и специфическим для данной теории.

Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода (например, т. н. правило modus ponens — «правило зачёркивания», позволяющее получить В из А и «А влечёт В»).

Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода.

В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются — а иногда их удаётся и доказать — содержательными средствами т. н. метатеории, т. е. теории, рассматривающей данную («предметную») теорию как предмет изучения. На языке метатеории (метаязыка) формулируются и правила вывода предметной теории.

По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств, т.е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения), можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики (т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации).

Несмотря на ряд значительных результатов в этом направлении, гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя (1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения допускаемых метатеоретических средств и позволили немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики).

  А. м. подвержен также критике, исходящей из различных семантических (см. Логическая семантика) критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г. Вейль и др.) не признают обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключенного третьего (см.

Исключённого третьего принцип) между тем этот принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в большинстве формальных теорий, но и используется по существу (хотя и неявно) в основных предпосылках гильбертовской программы, согласно которой непротиворечивость теории — достаточное условие её «истинности». Как и интуиционизм, конструктивное направление в математике (в СССР — А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.

  Ещё более существенные возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике, А. м.

основан на «принципе локальности для доказательств», предполагающем, что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными непременно должны быть и теоремы. Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного принципа математической индукции, согласно ультраинтуиционистской критике, содержит неустранимый порочный круг.

Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.

  Лит.: Начала Евклида, пер. с греч., [т. 1 — 3], М. — Л., 1948 — 50; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959: Есенин-Вольпин А. С.

, Об аксиоматическом методе, «Вопросы философии», 1959, № 7; Садовский В. Н., Аксиоматич. метод построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 — 2, В.

, 1934 — 39.

  Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.

Оглавление

Источник: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/007/395.htm

Аксиоматический метод: описание, этапы становления и примеры

Аксиоматический метод.:  Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений – аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными – основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы.

Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы.

Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия.

Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода.

Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии.

Правда, позже в Александрии вышел сборник «Начало», автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в «Элементарную геометрию».

Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

  • все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
  • геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
  • аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

  • непротиворечивости;
  • полноты;
  • независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным.

Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом.

Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации – обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам.

Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась.

Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

  • естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
  • появились неразрешимые формулы;
  • утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

  • логические выводы;
  • термины и определения;
  • частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом.

Сегодня аксиома – это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности.

Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод – это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об эмпирических фактах. Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы – изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

  • аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
  • теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
  • бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

Источник: https://FB.ru/article/345396/aksiomaticheskiy-metod-opisanie-etapyi-stanovleniya-i-primeryi

Метод аксиоматический

Аксиоматический метод.:  Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания (см. Теория) в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала перечисляются основные (неопределяемые) понятия, при этом все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определённые ранее.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними.

Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через ещё более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.

Далее формулируется и задаётся набор исходных положений, не требующих доказательства и называемых постулатами или аксиомами (аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется — см. Аксиома).

Затем из них по посредством логических процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные предложения (утверждения), называемые теоремами. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия.

Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального (формализованного) языка символов.

В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией. Правила, по которым должны проводиться такие рассуждения, рассматриваются в логике (см. Логика). Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории.

Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам.

Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов.

Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто так называемые постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а античные математики делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Следует отметить, что учёт статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, например, одну из них новым постулатом значения.

Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учётом ряда особенностей.

В основном сфера применения аксиоматического метода ограничена теми науками, в которых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним чётких предписаний формальной логики, а наибольшая эффективность метода проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчинённую роль. По этой причине попытки применения аксиоматического метода в философии (которая по самому существу занимается неформализованным анализом понятий, при этом не рассматриваемых как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели.

Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. Первоначально он был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Его научная значимость была обоснована ещё Аристотелем в начале III века до новой эры, который первым разделил всё множество истинных высказываний на основные («принципы») и требующие доказательства («доказываемые»).

Применительно к геометрии её реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем.

Геометрическая система Евклида стала первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века. Открытие в XIX веке неевклидовой геометрии (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я.

 Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причём сразу целых их семейств; появление переменных структур вроде групп; наконец, широкое обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — всё это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Наряду с этим, в конце XIX века Дж. Пеано ввёл аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщён и на логику. Д. Гилберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний (требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом), а П. Бернайс — логики предикатов. В XX веке аксиоматический метод становится формализованным. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.

Аксиоматические теории представляют собой одну высших форму организации знания.

Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и так далее. Однако, как показал К.

 Гёдель, доказавший в 1931 году теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы, аксиоматический метод имеет существенные ограничения в своём применении, так как достаточно богатые содержательные теории в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы.

В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся аксиоматического метода. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.

Учитывая накладываемые на него ограничения, аксиоматический метод рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (см. Метод гипотетико-дедуктивный) и методом математической гипотезы.

Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от аксиоматического метода, предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки.

Это позволяет ослабить силу ограничений аксиоматического метода: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счёт возможности введения дополнительных гипотез, жёстко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, то есть снять ограничение на справедливость аксиоматики «во всех мирах»; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, аксиоматический метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым содержательным предметным областям.

Источник: https://gtmarket.ru/concepts/6995

Вопрос 15 Аксиоматический метод в математике. Общая характеристика аксиоматического метода

Аксиоматический метод.:  Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

В математике АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до ХIХ века образцом применения АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА была геометрическая система, известная под названием «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА (около 300 лет до новой эры)

Среди аксиом Евклида была так называемая «аксиома о параллельных прямых» (она же — «пятый постулат Евклида»). Сегодня она формулируется так: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной» (у Евклида была несколько иная формулировка, но эквивалентная этой, как показали более поздние ученые).

По своему характеру эта аксиома сильно отличалась от остальных его аксиом, была сложнее их.

Многие математики в течение почти двух тысяч лет предпринимали попытки доказать этот постулат, исходя из остальных аксиом.

И лишь в 19 веке было окончательно выяснено (и в чем состоял выдающийся вклад русского математика Николая Лобачевского), что данную аксиому нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Наконец, на рубеже 19–20 веков немецкий математик Давид Гильберт, во-первых, записал евклидову геометрию в виде формальной аксиоматической теории (дописав, в том числе, некоторые недостающие аксиомы), а во-вторых, показал, что эта теория полна, то есть всякое утверждение можно в данной теории либо доказать, либо опровергнуть (то есть доказать его

отрицание). Это было одним из величайших вкладов в развитие аксиоматического метода и подтолкнуло к последовавшей формализации всей математики.

Аксиоматический метод — это способ построения и систематизации научного знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые утверждения выбираются в качестве исходных положений (аксиом), а все остальные утверждения (теоремы) этой теории доказывают (или выводят), исходя лишь из аксиом с помощью чисто логических рассуждений.

И аксиомы, и теоремы — это высказывания (утверждения) на некотором языке о некоторых понятиях (или терминах). Поэтому, прежде чем формулировать аксиомы и доказывать теоремы, мы должны договориться, о каких именно понятиях пойдет речь. Понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие

обозначают отношения между ними.

Одни понятия можно определять через другие. В какой-то момент необходимо остановиться и объявить некоторые понятия неопределяемыми (или исходными), и через них определять все остальные понятия (определяемые или производные), о которых говорится в данной теории.

Итак, чтобы пользоваться аксиоматическим методом построения теории, нужно:

(1) выбрать исходные понятия;

(2) сформулировать аксиомы («исходные» утверждения) об этих понятиях;

(3) выводить новые утверждения (теоремы) о них, пользуясь логикой и аксиомами.

В пунктах (2) и (3) можно вводить новые понятия (определяемые) через исходные и определенные ранее. Ввод новых понятий не добавляет новой информации, так как всегда можно заменить употребление этих понятий на их определение через исходные.

Однако их использование позволяет сделать формулировки утверждений и доказательств короче и понятней.

При этом надо следить, чтобы понятия вводились «последовательно» — каждое «следующее» новое понятие определялось через «ранее» определенные, то есть чтобы не возникал «порочный круг» (одно понятие определяется через второе, второе — через третье, и т.д., последнее — через первое).

Аналогично, в пункте (3) можно опираться не только на выбранные аксиомы, но и на доказанные «ранее» теоремы. Это позволяет делать доказательства более краткими, не доказывая одни и те же утверждения повторно.

Вопрос 16содержательная и полуформаьная аксиоматические теории

Аксиоматический метод применяется не на этапе нового знания, а на этапе систематизации уже добытого знания. Аксиоматический метод можно образно представить как метод «шлифовки» уже добытого, но еще не оформленного, не систематизированного достаточно полно знания. Однако это только одна сторона дела. В результате «шлифовки», т.е.

применения аксиоматического метода, теория приобретает логическую завершенность и такую форму, которая необходимо ведет к поиску нового зна-ния, выводит на конструирование новых математических теорий. Соответствующая функция аксиоматизации проявляется не сразу, так как она сама как метод формализации тоже развивается, т.е.

аксиоматизация выступает в двух аспектах: и как результат формализации и как средство познания

Как полуформальная, так и формальная аксиоматизация в качестве предмета изучения использует интерпретацию. Метод интерпретации позволяет выработать способы истолкования, определения исходных понятий одной системы средствами другой, уже известной системы.

Интерпретация как метод познания действительности применялся математикой давно. При интерпретации первоначальных объектов математики происходит соотнесение их с реальными объектами, благодаря чему знание о них становится более содержательным.

Однако такая соотнесенность имеет опосредованный характер и ограниченное число интерпретаций, вплоть до единичной, что связано со спецификой объектов определенной конкретной области.

При интерпретации более высоких уровней абстрактных объектов, образующих уже систему формализованную, возможна целая совокупность, множество интерпретаций, среди которых выделяются математические и естественнонаучные. Одни математические структуры интерпретируются другими математическими структурами.

Для формальной теории истинность теоремы означает, прежде всего, её доказуемость. Для содержательной теории утверждение истинно, если оно истинно в любой модели данной теории.

Таким образом, и для любой формальной теории возникают a’ priori два понимания “истинности” формулы: доказуемость и тождественная истинность(истинность при любой интерпретации рассматриваемой теории).

Интерпретация формальной теории (или модель теории)определяется понятию интерпретации для множества формул исчисления предикатов.

Не вдаваясь в формальности, ограничимся только намёком: модель теории (или интерпретация) – это некоторое множество вместе с зафиксированными на нём конкретными константами, предикатами и функциями для всех выделенных константных, предикатных и функциональных символов, участвующих в аксиомах теории. При этом требуется, чтобы все аксиомы теории в любой интерпретации этой теории представляли собой истинные в этой модели утверждения.

17. Метод интерпретации. Формальная аксиоматическая теория.

Интерпретация в математике, логике — совокупность значений (смыслов), придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам, символам и т. д.) какой-либо естественнонаучной или абстрактно-дедуктивной теории. В тех же случаях, когда такому «осмыслению» подвергаются сами элементы этой теории, то говорят также об интерпретации символов, формул и т. д.

Конец XIX – начало XX вв.

Стремление к формальному построению аксиоматических теорий;

Поиск новых средств и методов обоснования математики в связи с парадоксами теории множеств;

Понимание того, что метод доказательства с помощью моделей и интерпретаций имеет лишь относительный характер (аксиоматика Пеано, непротиворечивость арифметики целых чисел)

Вариант формализованной аксиоматики осуществляется путем замены содержательных исходных положений (аксиом) и исходных объектов формулами и символами.

Знаки и формулы этого языка не несут никакого содержательного смысла.

Вывод: Математическая теория, непротиворечивость которой требовалось доказать, стала предметом другой математической теории, которую Гильберт назвал математикой или теорией доказательств.

К. Гёдель – математик и логик.

Выводы из теории Гёделя:

Любая формула, отношение которой невыводимо, является выполнимой;

Непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте.

Любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком определенном направлении математики остаются недоказуемыми.

Гёдель делает вывод об ограниченности аксиоматического метода.

18. История возникновения фрактальной геометрии. Значение фрактальной геометрии.

Понятие фрактал, появилось в конце 70-х годов 20 в.. Оно было введено в обращение в 1975 году французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В работах Б. Мандельброта использованы научные результаты, полученные многими учеными. Это объясняется тем, что самому факту появления фракталов более ста лет.

Однако появление их в математической литературе было встречено с неприязнью. Общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей математических причуд, а не для подлинных ученых. Заслуга Б.

Мандельброта в том, что ему удалось собрать разрозненные сведения, объединить их в единую систему, увидеть общее в многообразии, указать на важность своего открытия.

История развития идей фрактальной геометрии тесно связана с именами таких известных математиков, как К. Вейерштрасс, Г. Кантор, Дж. Пеано, Ф. Хаусдорф, А.С. Безикович, Х. Кох, В. Серпинский и др. Так К.

Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцированную функцию. Ф. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной размерности множеств и привел примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие математические объекты.

Идеи Ф. Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты А.С. Безиковичем.

Большой вклад в будущую фрактальную геометрию внесли работы французских математиков Г. Жулиа и П. Фату, которые в начале ХХ века занимались теорией рациональных отображений в комплексной плоскости.

Практически полностью забытая, их деятельность получила неожиданное развитие в начале восьмидесятых годов, когда с помощью компьютеров математикам удалось получить прекрасные картины, показывающие примеры таких отображений.

В настоящее время язык фрактальной геометрии широко используется

в физике:

– при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах;

– для характеристики сильно развитой турбулентности;

– при моделировании свойств поверхности твердых тел;

– для описания диэлектрического пробоя и молнии;

– при анализе процессов усталостного разрушения материалов;

– при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии;

в астрономии:

– при описании процессов кластеризации галактик во Вселенной;

в картографии:

– при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел;

в биологии:

– при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Вопрос 19 Геометрические фракталы: триадная кривая Кох.

Геометрические фракталы самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов — триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1.6) — это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1.

В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении — это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия — каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент.

Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис. 1.6 представлены пять поколений кривой.

При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.

20. Геометрические фракталы: салфетка Серпинского.

Рассмотрим самоподобную фигуру, придуманную польским математиком В.Серпинским (1882–1969).

Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. Проследим построения нового квартала более подробно. Разделим данный квадрат на девять равных квадратов и квадрат, расположенный в середине, вырежем. Получим квадрат с пустотой (рис. 10а).

Для оставшихся восьми квадратов вновь повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты удалим (рис. 10б). Повторяя похожие построения, будем получать все более “дырявую” фигуру (рис. 10в).

То, что остается после всех вырезаний, и будет ковром Серпинского.

а) б) в)

Рис. 10

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре (салфетке) Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без «дырки».

Начиная не с квадрата, а с равностороннего треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим еще одну самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского. Она носит название «салфетки Серпинского» (рис. 11).

Рис. 11

21. Фрактал Кантора.

Георг Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств. Он также придумал один из старейших фракталов — множество Кантора (описано им в 1883) (называют иногда пылью). Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого фрактала.

Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Способ построения этого множества следующий. Берётся отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры.

На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора.

Нетрудно заметить, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так кам мы исключили в результате длину, равную 1:

Проведём построение более формально на множестве. Берём отрезок единичной длины . Удаляем из него открытый интервал , получая . На следующем и всех остальных шагах вы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Т. о. на втором шаге мы имеем . Предельное множество , которое представляет собой пересечение множеств , , и представляет собой пыль Кантора.

Множество Кантора имеет мощность континуума. Для этого необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из множества Кантора и точками отрезка . Будем представлять все точки отрезка в виде двоичной дроби, а точки пыли Кантора в виде троичной дроби.

В случае, когда точка имеет два представления, мы будем всегда выбирать то, которое заканчивается всеми единицами в двоичном виде и всеми двойками в троичном.

Заметим, что точка попадает в множество Кантора тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении присутствуют только нули и двойки, поэтому искомое соответствие осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении на единицы. Описанная процедура и определяет ваимно однозначное соответствие между множеством Кантора и отрезком .

Непосредственно с множеством Кантора связана чёртова лестница.

22. Фрактальная размерность. Примеры вычисления размерности фракталов.

Фрактал – множество с дробной размерностью.

Фрактал – множество, размерность Хайсдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности.

Типы размерности:

1) Евклидова: минимальное число координат, необходимых для однозначного определения положения точки;

2) Тополог.: размерность любого множества на 1 больше размерности разреза, делящего его на две несвязнае части (тополог.размерность отрезка-1, топол.разм. квадрата-2, плоскости-2);

3) Размерность самоподобия . Размерность самоподобия – один из частных случаев фрактальной размерности.

Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве.

Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть.

Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём.

Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

23. Алгебраические фракталы: метод построения алгебраических фракталов.

Свое название эти фракталы получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Примеры: множество Мандельброта, множество Жюлиа, фрактал Ньютона.

Метод:

1. Выбирается формула (функция), в нее подставляется число и получается результат.

2. Полученный результат подставляется в эту же формулу и получается следующее число.

3. Повторение процедуры.

4. Получается набор чисел, являющихся точками фрактала.

Функция для разных точек может иметь разное поведение:

1. Стремится к бесконечности.

2. Стремится к 0.

3. Принимает несколько фиксированных значений.

4. Хаотичное поведение.

24 вопрос. Множество Мандельброта (один из самых известных фрактальных объектов) впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона.

И хотя исследования подобных объектов начались ещё в прошлом веке, именно открытие этого множества и совершенствование аппаратных средств машинной графики в решающей степени повлияли на развитие фрактальной геометрии и теории хаоса.

Итак, что же такое множество Мандельброта.

Рассмотрим функцию комплексного переменного . Положим и рассмотрим последовательность , где для любого . Такая последовательность может быть ограниченной (т.е. может существовать такое r, что для любого ) либо «убегать в бесконечность» (т.е. для любого r > 0существует ).

Множество Мандельброта можно определить как множество комплексных чисел c, для которых указанная последовательность является ограниченной.

К сожалению, не известно аналитического выражения, которое позволяло бы по данному c определить, принадлежит ли оно множеству Мандельброта или нет.

Поэтому для построения множества используют компьютерный эксперимент: просматривают с некоторым шагом множество точек на комплексной плоскости, для каждой точки проводят определённое число итераций (находят определённое число членов последовательности) и смотрят за её «поведением». (Рис. 4).

Доказано, что множество Мандельброта размещается в круге радиуса r=2 с центром в начале координат. Таким образом, если на некотором шаге модуль очередного члена последовательности превышает 2, можно сразу сделать вывод, что точка, соответствующая c, определяющему данную последовательность, не принадлежит множеству Мандельброта.

Уменьшая шаг, с которым просматриваются комплексные числа, и увеличивая количество итераций, мы можем получать сколь угодно подробные, но всегда лишь приближённые изображения множества.

Пусть в нашем распоряжении имеется N цветов, занумерованных для определённости от 0 до N-1. Будем считать, опять же для определённости, что черный цвет имеет номер 0.

Если для данного c после N-1 итераций точка не вышла за круг радиуса 2, будем считать, что c принадлежит множеству Мандельброта, и покрасим эту точку c в чёрный цвет.

Иначе, если на некотором шаге k (k Є [1; N-1]) очередная точка вышла за круг радиуса 2 (т.е. на k-ом шаге мы поняли, что она «убегает»), покрасим её в цвет k.

Красивые изображения получаются при удачном выборе палитры и окрестности множества (а именно вне множества мы и получим «цветные точки). (Рис. 5, 6).

Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

25. Основные понятия теории узлов

Модель узла — замкнутая, несамопересекающаяся кривая в пространстве.

Узел – это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломаная, которая может быть как угодно закручена и переплетена.

Под развязыванием узла будем понимать выпрямление этого отрезка путем деформации его в трехмерном пространстве.

тривиальный узел (окружность)

Изображение узла называется диаграммой узла.

Зацеплением называется конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве.

Два узла называются изотопными (эквивалентными), если от одного к другому можно перейти последовательно выполняя преобразования, которые называются элементарными изотопиями.

Два узла изотопны, если один узел можно перевязать в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_258078_vopros--aksiomaticheskiy-metod-v-matematike-obshchaya-harakteristika-aksiomaticheskogo-metoda.html

2. Об аксиоматическом способе построения теории

Аксиоматический метод.:  Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела,

Приаксиоматическом построении какой-либоматематической теории соблюдаютсяопределенные правила:

-некоторые понятия теории выбираются вкачествеосновныхи принимаются без определения;

-каждому понятию теории, которое несодержится в списке основных, даетсяопределение,в нем разъясняется его смысл с помощьюосновных и предшествующих данномупонятий;

-формулируютсяаксиомы- предложения, которые в данной теориипринимаются без доказательства; в нихраскрываются свойства основных понятий;

-каждое предложение теории, которое несодержится в списке аксиом, должно бытьдоказано; такие предложения называюттеоремамиидоказывают их на основе аксиом и теорем,предшествующих рассматриваемой.

Еслипостроение теории осуществляетсяаксиоматическим методом, т.е. по названнымвыше правилам, то говорят, что теорияпостроена дедуктивно.

Приаксиоматическом построении теории посуществу все утверждения выводятсяпутем доказательства из аксиом. Поэтомук системе аксиом предъявляются особыетребования. Прежде всего, она должнабыть непротиворечивой и независимой.

Системааксиом называется непротиворечивой,если из нее нельзя логически вывестидва взаимно исключающих друг другапредложения.

Еслисистема аксиом не обладает этим свойством,она не может быть пригодной для обоснованиянаучной теории.

Непротиворечиваясистема аксиом называется независимой,если никакая из аксиом этой системы неявляется следствием других аксиом этойсистемы.

Приаксиоматическом построении одной и тойже теории можно использовать разныесистемы аксиом. Но они должны бытьравносильными.

Кроме того, при выборетой или иной системы аксиом математикиучитывают, насколько просто и наглядномогут быть получены доказательстватеорем в дальнейшем.

Но если выбор аксиомусловен, то сама наука или отдельнаятеория не зависят от каких-либо условий,- они являются отражением реальногомира.

Аксиоматическоепостроение системы натуральных чиселосуществляется по сформулированнымправилам. Изучая этот материал, мы должныувидеть, как из основных понятий и аксиомможно вывести всю арифметику натуральныхчисел. Конечно, его изложение в нашемкурсе будет не всегда строгим — некоторыедоказательства мы опускаем в силу ихбольшой сложности, но каждый такойслучай будем оговаривать.

3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

Вкачестве основного понятия приаксиоматическом построении арифметикинатуральных чисел взято отношение«непосредственноследовать за»,заданное на непустом множестве N.Известными также считаются понятиемножества, элемента множества и другиетеоретико-множественные понятия, атакже правила логики.

Элемент,непосредственно следующий за элементома, обозначают а'.

Сутьотношения «непосредственно следоватьза» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома1.Вмножестве N существует элемент,непосредственно не следующий ни закаким элементом этого множества. Будемназывать его единицей, и обозначатьсимволом 1.

Аксиома2.Длякаждого элемента а из N существуетединствен­ный элемент а', непосредственноследующий за а.

Аксиома3.Длякаждого элемента а из N существует неболее одного элемента, за которымнепосредственно следует а.

Аксиома4.Всякоеподмножество М множества N совпадает сN, если обладает свойствами: 1) 1 содержитсяв М; 2) из того, что а содержится в М,следует, что и а' содержится в М.

Сформулированныеаксиомы часто называют аксиомамиПеано.

Используяотношение «непосредственноследовать за»и аксиомы 1-4, можно дать следующееопределение натурального числа.

Определение.МножествоN, для элементов которого установ­леноотношение «непосредственно следоватьза», удовлетворяю­щее аксиомам 1-4,называется множеством натуральныхчисел, а его элементы — натуральнымичислами.

Вданном определении ничего не говоритсяо природе элементов множества N.Значит, она может быть какой угодно.Выбирая в качестве множества N некотороеконкретное множество, на котором заданоконкретное отношение «непосредственноследовать за», удовлетворяющее аксиомам1- 4, мы получим модель данной системыаксиом.

В математике доказано, что междувсеми такими моделями можно установитьвзаимно однозначное соответствие,сохраняющее отношение «непосредственноследовать за», и все такие модели будутотличаться только природой элементов,их названием и обозначением.

Стандартноймоделью системы аксиом Пеано являетсявозникший в процессе историческогоразвития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, …

Каждоечисло этого ряда имеет свое обозначениеи название, которое мы будем считатьизвестными.

Рассматриваянатуральный ряд чисел в качестве однойиз моделей аксиом 1- 4, следует отметить,что они описывают процесс образованияэтого ряда, причем происходит это прираскрытии в аксиомах свойств отношения«непосредственно следовать за».

Так,натуральный ряд начинается с числа 1(аксиома 1); за каждым натуральным числомнепосредственно следует единственноенатуральное число (аксиома 2); каждоенатуральное число непосредственноследует не более чем за одним натуральнымчислом (аксиома 3); начиная от чис­ла1 и переходя по порядку к непосредственноследующим друг за другом натуральнымчислам, получаем все множество этихчисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома4 в формализованном виде описываетбесконечность натурального ряда, и наней основано доказательство утвержденийо натуральных числах.

Вообщемоделью системы аксиом Пеано может бытьлюбое счетное множество, например:

I, II, III, IIII,…

, , , ,…

один, два, три, четыре,…

Тообстоятельство, что в аксиоматическихтеориях не говорят об «истинной» природеизучаемых понятий, делает на первыйвзгляд эти теории слишком абстрактнымии формальными, — оказывается, что одними тем же аксиомам удовлетворяют различныемножества объектов и разные отношениямежду ними. Однако в этой кажущейсяабстрактности и состоит силааксиоматического метода: каждоеутверждение, выведенное логическимпутем из данных аксиом, применимо клюбым множествам объектов, лишь бы вних были определены отношения,удовлетворяющие аксиомам.

Итак,мы начали аксиоматическое построениесистемы натуральных чисел с выбораосновного отношения «непосредственноследовать за» и аксиом, в которых описаныего свойства.

Дальнейшее построениетеории предполагает рассмотрениеизвестных свойств натуральных чисел иопераций над ними. Они должны бытьраскрыты в определениях и теоремах,т.е.

выведены чисто логическим путем изотношения «непосредственно следоватьза», и аксиом 1- 4.

Первоепонятие, которое мы введем послеопределения натурального числа, — этоотношение «непосредственнопредшествует»,которое часто используют при рассмотрениисвойств натурального ряда.

Определение.Еслинатуральное число bнепосредственно следует за натуральнымчислом а, то число а называетсянепосредственно предшествующим (илипредшествующим) числу b.

Отношение«предшествует» обладает рядом свойств.Они формулируются в виде теорем идоказываются с помощью аксиом 1 — 4.

Теорема1.Единицане имеет предшествующего натуральногочисла.

Истинностьданного утверждения вытекает сразу изаксиомы 1.

Теорема2.Каждоенатуральное число а, отличное от 1, имеетпредшествующее число b, такое, что b' = а.

Доказательство.Обозначим через М множество натуральныхчисел, состоящее из числа 1 и из всехчисел, имеющих предшествующее. Есличисло а содержится в М, то и число а'также есть в М, поскольку предшествующимдля а' является число а.

Это значит, чтомножество М содержит 1, и из того, чточисло а принадлежит множеству М, следует,что и число а' принадлежит М. Тогда поаксиоме 4 множество М совпадает смножеством всех натуральных чисел.

Значит, все натуральные числа, кроме 1,имеют предшествующее число.

Отметим,что в силу аксиомы 3 числа, отличные от1, имеют единственное предшествующеечисло.

Аксиоматическоепостроение теории натуральных чиселне рассматривается ни в начальной, нив средней школе. Однако те свойстваотношения «непосредственно следоватьза», которые нашли отражение в аксиомахПеано, являются предметом изучения вначальном курсе математики. Уже в первомклассе при рассмотрении чисел первогодесятка выясняется, как может бытьполучено каждое число.

При этомиспользуются понятия «следует» и«предшествует». Каждое новое числовыступает как продолжение изученногоотрезка натурального ряда чисел. Учащиесяубеждаются в том, что за каждым числомидет следующее, и притом только одно,что натуральный ряд чисел бесконечен.

И конечно, знание аксиоматической теориипоможет учителю методически грамотноорганизовать усвоение детьми особенностейнатурального ряда чисел.

Источник: https://studfile.net/preview/5473515/page:69/

Scicenter1
Добавить комментарий