Выводы: 1. Получено аналитическое выражение для определения времени движения

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО ГРАФИЧЕСКИ ЗАДАННЫМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Выводы: 1. Получено аналитическое выражение для определения времени движения

Макеты страниц

После выбора желаемых логарифмических частотных характеристик корректирующих устройств следующим шагом является определение аналитических выражений для соответствующих им желаемых передаточных функций.

Часто эта задача решается без затруднений, в особенности если корректирующими устройствами будут пассивные электрические С-цепи.

При этом решение можно искать в классе минимально-фазовых систем с помощью специальных таблиц RC-контуров.

Однако правильно выбрать схему корректирующего устройства по графически заданной амплитудной частотной характеристике, пользуясь указанными таблицами, не всегда удается. Так,

например, если неизменяемая или заданная часть системы автоматического регулирования относится к классу неминимально-фазовых систем, не имеющих однозначной связи между амплитудной и фазовой частотной характеристиками, то схему корректирующего устройства приходится выбирать не только по амплитудной, но одновременно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, заданным в определенном интервале частот. В этом случае пользование таблицами -контуров, составленными для минимально-фазовых систем, вообще недопустимо, так как приведенным в них логарифмическим амплитудным частотным характеристикам соответствуют совершенно определенные фазовые характеристики, которые могут не иметь ничего общего с заданными фазовыми характеристиками.

Таблицы -контуров неприменимы также в тех случаях, когда требуется сравнительно высокая точность приближения заданной амплитудной характеристики или когда последняя имеет сложную форму.

Сущность излагаемого ниже метода определения аналитического выражения передаточной функции по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, графически заданным в некотором интервале частот, заключается в следующем.

По одной из заданных частотных характеристик, например логарифмической амплитудной характеристике, вначале ориентировочно определяют положение полюсов и нулей передаточной функции, которое затем, в результате введения соответствующих поправок, постепенно уточняется.

Если передаточная функция характеризуется значительным количеством нулей и полюсов, то подбор поправок, или, другими словами, определение эффекта передвижения этих нулей и полюсов на комплексной плоскости, может оказаться очень сложным. В этом случае поправки можно вносить аналитическим методом. Практически же при расчете систем автоматического регулирования часто вполне достаточно ограничиться подбором поправок, не прибегая к более сложному аналитическому способу.

Применение метода удобнее всего пояснить на примере.

Предположим, что необходимо найти передаточную функцию, соответствующую графически заданным логарифмической амплитудной и фазовой частотным характеристикам. В первом приближении эта функция определяется по формуле

Преобразуем выражение (VIII.67) следующим образом:

где

величины, комплексно сопряженные величинам Пользуясь принятыми обозначениями, можно написать

Таким образом, первоначально сформулированная задача состоит в том, чтобы путем изменения положения нулей а и полюсов повысить точность приближения функции к графически заданным частетным характеристикам.

Найдем выражения для логарифмической амплитудной и фазовой частотных характеристик, соответствующих формуле (VIII.69):

и

Перепишем эти выражения в виде и

и

где

Аналогичные выражения можно записать и для Полученные выражения удобны тем, что они дают возможность анализировать влияние каждого из полюсов и нулей системы в отдельности на ее частотные характеристики. Выражения состоят из членов двух типов: соответствующих комплексносопряженным полюсам и нулям, вещественным полюсам и нулям.

Определим влияние малых изменений в положении полюсов и нулей на вид частотных характеристик (VIII.70) и (VIII.71). При данном о) амплитудная логарифмическая частотная характеристика (VIII.70) является функцией нескольких переменных: которые могут получать приращения. Разлагая эту функцию в ряд по формуле Тейлора и отбрасывая члены высших порядков, найдем

Отсюда приближенное выражение для приращения амплитудной частотной характеристики при малых смещениях нулей и полюсов передаточной функции можно представить в виде

Аналогично получим

Далее найдем выражения для частных производных, входящих в формулы (VIII.73) и (VIII.74), т. е.

где

Аналогичные выражения можно написать и для остальных шести частных производных, входящих в формулы (VIII.73) и (VIII.74).

Кривые, которые описываются выражениями

и

изображены соответственно на рис. VIII.18 и VIII.19. Пользуясь этими кривыми, легко определить влияние перемещения вещественного нуля и перемещения вещественного полюса на вид частотных характеристика

На рис. VIII.20-VIII.23 изображены семейства кривых для различных значений

Пользуясь этими кривыми, легко определить влияние перемещения комплексной пары нулей или полюсов на вид частотных характеристик.

Рис. VIII.18. График функции

Рис. VIII.19. График функции

Так, например, для того чтобы определить влияние перемещения комплексной пары полюсов, нужно выбрать те кривые, которые соответствуют первоначально выбранному значению В этом случае изменение в логарифмической амплитудной частотной характеристике определяется выражением

а изменение в фазовой характеристике — выражением

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, сформулированная выше задача сводится к выбору таких (по крайней мере, некоторых) величин при которых получаются кривые дающие возможность обеспечить максимально точное приближение к заданным частотным характеристикам в требуемом интервале частот.

Рис. VIII.22. Семейство кривых

Сущность метода, изложенного выше, применительно к передаточной функции (VIII.67) остается той же применительно к дробно-рациональным передаточным функциям самого общего вида. Действительно, вне зависимости от общего числа полюсов

и нулей этой функции, влияние каждого из них на вид частотных характеристик всегда может быть определено при помощи кривых, изображенных на рис. VIII.18 — VIII.23.

Рис. VIII.23. Семейство кривых

Пример. Предположим, что необходимо найти передаточную функцию, соответствующую логарифмической амплитудной частотной характеристике, изображенной пунктиром на рис. VIII.24. В качестве первого приближения выберем следующую передаточную функцию:

где

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика, соответствующая этой передаточной функции, изображена на рис. VIII.24 сплошной линией. Выражение для передаточной функции можно преобразовать следующим образом:

или

где

и

В данном примере

Сначала, пользуясь первоначально выбранной и заданной частотной характеристикой, построим разностную частотную характеристику, определяющую погрешность первого приближения (рис. VIII.25).

Рис. VIII.24. Логарифмическая амплитудная характеристика

Рис. VIII.25. Разностная логарифмическая амплитудная характеристика

Затем, по известным значениям найдем соответствующие им кривые (рис. VIII.26).

После этого выберем значения таким образом, чтобы получить более точное приближение к разностной частотной характеристике .

Рис. VIII.26. Кривые, соответствующие значениям определяющим первое приближение

В данном случае можно значительно улучшить приближение, приняв и подобрав соответствующим образом величину Далее построим характеристику для новых значений

и найдем погрешность второго приближения. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность приближения.

Последний этап решения задачи синтеза корректирующих устройств заключается в технической реализации найденной передаточной функции в виде определенной схемы.

Как указывалось выше, в качестве таких схем часто применяют четырехполюсники типа RC, не содержащие индуктивностей, что особенно важно для диапазона очень низких частот, для которых трудно изготовить индуктивности небольших размеров.

Ограничения на индуктивности накладывают определенные трудности при технической реализации передаточной функции четырехполюсников.

Однако, несмотря на эти ограничения, такого рода четырехполюсники являются достаточно гибкими, так что довольно широкий класс заданных амплитудных частотных характеристик может быть аппроксимирован с любой степенью точности при использовании лишь сопротивлений и емкостей.

Методы синтеза четырехполюсников изложены в работах [1], и [5], поэтому здесь не приводятся.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

Источник: http://scask.ru/p_book_tar2.php?id=75

Метод аналитического определения скорости судна на установившейся циркуляции — современные проблемы науки и образования (научный журнал)

Выводы: 1. Получено аналитическое выражение для определения времени движения
1 Бажанкин Ю.В. 1 1 ФБОУ ВПО «Волжская государственная академии водного транспорта», Нижний Новгород В настоящей статье описан метод аналитического определения скорости судна на установившейся циркуляции. Рассмотрено первое уравнение системы уравнений движения судна и величины, в него входящие.

Приведено выражение для определения продольных усилий, развиваемых движительно-рулевым комплексом, состоящим из открытого гребного винта и расположенного за ним руля. Входящий в это выражение коэффициент засасывания является величиной постоянной, зависящей только от геометрических характеристик корпуса судна в районе выхода гребного вала.

На основе аппроксимации кривых действия винта в свободной воде получено выражение для определения полезной тяги винта. Продольное сопротивление воды движению судна получено по выражениям, разработанным В.И. Тихоновым.

С учетом полученных выражений было выведено квадратное уравнение, устанавливающее связь между частотой вращения гребного винта и линейной скоростью судна на установившейся циркуляции. Для определения частоты вращения гребного винта использовано уравнение моментов, полученное В.И. Тихоновым.

С целью проверки корректности предлагаемой методики были выполнены расчёты относительной скорости и параметров работы винтового движителя на установившихся циркуляциях для десяти судов речного флота. При этом величины радиусов циркуляции и углов дрейфа были взяты из результатов натурных испытаний судов.

Анализ расчетных и экспериментальных значений величины относительной скорости позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый способ аналитического определения скорости судна на установившейся циркуляции достаточно корректен. 1. Басин А.М. Ходкость и управляемость судов. – М. : Транспорт, 1977. – 456 с.
2. Басин А.М., Степанюк Е.И.

Руководство по расчёту и проектированию гребных винтов судов внутреннего плавания. – Л. : Транспорт, 1981. – 352 с.
3. Гофман А.Д. Движительно-рулевой комплекс и маневрирование судна. Справочник. – Л. : Судостроение, 1988. – 360 с.
4. Справочник маневренных характеристик судов. – М. : Изд. МРФ РСФСР, 1989. – 319 с.
5. Тихонов В.И.

Основы теории динамической системы судно – жидкость. – Н. Новгород : ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2007. – 262 с. Введение

Для качественной подготовки судоводителей на специализированных тренажерах необходимы основанные на уравнениях движения судна математические модели, адекватно отражающие процессы динамического взаимодействия судового корпуса с окружающей его водой и с движительно-рулевым комплексом (ДРК). Стоит отметить, что задачи математического моделирования работы ДРК при маневрировании судна остаются до сих пор нерешёнными.

Разработка метода

Уравнение продольных сил, действующих на судно при установившемся циркуляционном движении, имеет следующий вид [5]:

где m — масса судна;

 — линейная скорость центра масс (ЦМ) судна;

ω — угловая скорость вращения судна относительно вертикальной оси , проходящей через его ЦМ;

β — угол дрейфа судна;

Xp — продольная составляющая силы, развиваемой движительно-рулевым комплексом (ДРК);

XГ — продольная составляющая сопротивления воды движению корпуса судна.

Сила Xp, которую развивает ДРК, состоящий из открытого гребного винта и установленного за ним руля, может быть представлена выражением:

 (2)

Здесь  — число винтов;

 — полезная тяга движителя;

 — угол перекладки руля;

P — упор движителя;

 — коэффициент засасывания.

Коэффициент засасывания  может считаться величиной постоянной, зависящей лишь от геометрических характеристик кормовой оконечности судового корпуса в районе выхода гребного вала. Поэтому при известном значении сопротивления воды прямолинейному движению судна коэффициент засасывания может быть подсчитан по формуле:

где  — коэффициент общего сопротивления воды прямолинейному движению судна;

L, T — расчётные длина и осадка судна;

 — скорость прямолинейного движения судна, соответствующая частоте вращения винтов n0;

 — коэффициент упора винта при относительной поступи

 — диаметр винта;

— расчётное значение коэффициента попутного потока, определяемое по данным работы [1].

Следовательно, полезная тяга винта в зависимости от его относительной поступи  может быть представлена в виде

  (3)

В выражении (3) обозначено:

 — коэффициенты аппроксимации, получаемые при обработке диаграмм для расчёта открытых гребных винтов [2];

ρ — массовая плотность воды;

n — частота вращения винта.

Относительная поступь гребного винта  рассчитывается следующим образом:

 (4)

Здесь  — продольная составляющая вектора линейной скорости судна.

Сила сопротивления воды продольному движению судна может быть подсчитана по выражению:

 (5)

где  — коэффициент сопротивления воды продольному перемещению корпуса судна.

Для приближённых вычислений можно положить [5]

 (6)

В формуле (6) обозначено:

δ — коэффициент полноты водоизмещения судна;

B — ширина судна;

R — радиус установившейся циркуляции при перекладке руля на угол .

 — коэффициент, подсчитываемый по данным работы [5].

С учётом изложенного уравнение (1) представим в виде

 (7)

Введём следующие обозначения:

 (8) 

Подставив выражения (8) в равенство (7), получим:

 (9)

откуда

 (10)

В уравнении (10) обозначено:

Выражение (10) позволяет найти соотношение между продольной составляющей скорости судна на установившейся циркуляции и частотой вращения винтов, то есть

  (11)

Для определения частоты вращения винтов воспользуемся полученным в [5] уравнением моментов:

 (12)

Здесь  — крутящий момент на валу гребного винта;

 — момент сопротивления жидкости вращению винта;

 — коэффициент, учитывающий отношение площади диска винта, перекрываемой рулём при гипотетической перекладке последнего на 90°, ко всей площади диска.

Момент сопротивления Mc определяется известной формулой

 (13)

а коэффициент момента K2 с использованием диаграмм для расчёта открытых гребных винтов [2] может быть представлен в виде

 (14)

Для приближённых расчётов крутящий момент  с учётом работы регулятора частоты вращения винта может быть представлен следующим образом:

 (15)

где

 ;

Очевидно, что

 (16)

Подставив формулы (13)-(15) в уравнение (12), получим:

 (17)

где

Таким образом, выражения (11) и (17) позволяют определить значения продольной составляющей скорости судна и частоты вращения винтов на установившейся циркуляции.

Проверка корректности метода

Для проверки корректности предлагаемой методики были выполнены расчёты относительной скорости

и параметров работы винтового движителя для десяти судов, оборудованных различными ДРК: три с открытыми винтами и расположенными за ними рулями; два с винтами в направляющей насадке и расположенными за ними рулями; три с винтами в поворотной насадке и два с винтами в поворотной насадке со стабилизатором. При этом использовались результаты натурных циркуляционных испытаний [4].

Полученные значения относительной скорости  точками показаны на рис. 1. Для сравнительной оценки результатов расчёта с результатами, получающимися путём вычислений по эмпирическим формулам, на рис. 1. представлены кривые вида , где , построенные с использованием следующих выражений [3]:

1) по Г.А. Фирсову

;(18)

2) по Р.Я. Першицу

;(19)

3) по А.М. Басину

;(20)

4) по А.Д. Гофману и В.И. Когану

;(21)

5) по О.И. Гордееву и В.Г. Павленко

;(22)

6) по Ю.М. Мастушкину

.(23)

Рис. 1. Результаты расчётов падения линейной скорости на циркуляции.

Вывод

Удовлетворительная сходимость расчётных и экспериментальных значений величины  позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый способ аналитического определения скорости судна на установившейся циркуляции достаточно корректен.

Следует отметить, что инерционность гребного винта пренебрежимо мала по сравнению с инерционностью судна. Поэтому в любой момент времени параметры работы винтового движителя будут определяться мгновенными значениями характеристик движения судна.

Следовательно, разработанный автором метод может быть использован для моделирования работы винтового движителя при неустановившемся криволинейном движении судна.

Рецензенты:

Клементьев А.Н., д.т.н., профессор, зав. кафедрой судовождения и безопасности судоходства ФБОУ ВПО «Волжская государственная академия водного транспорта», г. Нижний Новгород.

Тихонов В.И., д.т.н., профессор кафедры судовождения и безопасности судоходства ФБОУ ВПО «Волжская государственная академия водного транспорта», г. Нижний Новгород.

Библиографическая ссылка

Бажанкин Ю.В. МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ СУДНА НА УСТАНОВИВШЕЙСЯ ЦИРКУЛЯЦИИ // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=5550 (дата обращения: 04.02.2020).

Источник: https://science-education.ru/ru/article/view?id=5550

Принцип наименьшего действия в аналитической механике

Выводы: 1. Получено аналитическое выражение для определения времени движения

Причина данной публикации — неоднозначная статья на тему принципа наименьшего действия (ПНД), опубликованная на ресурсе несколько дней назад.

Неоднозначна она потому, что её автор в популярной форме пытается донести до читателя один из основополагающих принципов математического описания природы, и это частично ему удается.

Если бы не одно но, притаившееся в конце публикации. Под спойлером приведена полная цитата данного отрывка

Задача о движении шарика На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально. Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время. Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией. Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз. Так в чем же, с моей точки зрения, проблема? Проблема в том, что автор, приводя данный пример допустил ряд фундаментальных ошибок. Она усугубляется тем, что планируемая вторая часть, со слов автора, будет опираться на эти ошибки. Руководствуясь принципом наполнения ресурса достоверной информацией я вынужден выступить с разъяснением своей позиции по данному вопросу более развернуто, и формат комментариев для этого маловат. Данная статья расскажет о том, как строится механика на базе ПНД, и постарается объяснить читателю, что проблема, которую ставит автор цитируемой публикации отсутствует.

1. Определение действия по Гамильтону. Принцип наименьшего действия

Действием по Гамильтону называют функционал где
— функция Лагранжа, для некоторой механической системы, в которой (опуская аргументы в дальнейшем) T — кинетическая энергия системы; П — потенциальная её энергия; q(t) — вектор обобщенных координат этой системы, являющийся функцией времени. при этом полагают, что моменты времени t1 и t2 — фиксированы.

Почему функционал, а не функция? Потому, что функция, по определению есть правило, по которому одному числу из области определения (аргументу функции) ставится в соответствие другое число из области значений. Функционал отличается тем, что качестве его аргумента выступает не число, а целая функция. В данном случае это закон движения механической системы q(t), определенный по крайней мере на промежутке времени между t1 и t2.

Многолетние (и это мягко сказано!) труды ученых-механиков (включая умопомрачительного Леонарда Эйлера), позволили сформулировать

Принцип наименьшего действия:

Механическая система, для которой задана функция Лагранжа , движется таким образом, что закон её движения q(t) доставляет минимум функционалу
называемому действием по Гамильтону. Уже из самого определения ПНД следует тот факт, что данный принцип приводит к уравнениям движения лишь для ограниченного класса механических систем. Для каких? А давайте разберемся.

2. Границы применимости принципа наименьшего действия. Некоторые определения для самых маленьких

Как следует из определения, опять таки, функции Лагранжа, ПНД позволяет получить уравнения движения для механических систем, силовое воздействие на которые определяется исключительно потенциальной энергией.

Для того чтобы разобраться, о каких системах идет речь, дадим несколько определений, которые, для экономии объема статьи я помещаю под спойлер Работа силы на перемещенииРассмотрим движущуюся по траектории AB точку, к которой приложена сила .

Бесконечно малое перемещение точки по траектории определяется вектором , направленным по касательной к траектории.

Элементарной работой силы на перемещении называют скалярную величину, равную

Тогда, полная работа силы на перемещении точки по траектории AB есть криволинейный интеграл

Кинетическая энергия точкиКинетической энергией точки T называют работу, которую должны совершить приложенные к точке массой m силы, для того чтобы из состояния покоя перевести точку в движение со скоростью
Вычислим кинетическую энергию, согласно данному определению. Пусть точка начинает движение из состояния покоя под действием приложенных к ней сил. На отрезке траектории AB она приобретает скорость . Вычислим работу, совершенную приложенными к точке силами, которые, по принципу независимости действия сил, заменим равнодействующей
В соответствии со вторым законом Ньютона тогда Вычислим строго стоящее под знаком интеграла скалярное произведение, для чего продифференцируем по времени скалярное произведение вектора скорости самого на себя С другой стороны, Дифференцируя это равенство по времени, имеем Сравнивая (1) и (2) приходим к выводу, что Тогда, спокойно вычисляем работу, раскрывая криволинейный интеграл через определенный, взяв в качестве пределов модуль скорости точки в начале и в конце траектории

Консервативные силы и потенциальная энергия точкиРассмотрим действующую на точку силу, причем такую, что величина и направление этой силы зависит исключительно от положения точки в пространстве
Пусть точка перемещается в пространстве по произвольной траектории AB. Вычислим, какую работу при этом совершит сила (3) Так как проекции силы на оси координат зависят исключительно от этих самых координат, всегда можно найти функцию такую, что Тогда, выражение для работы преобразуется к виду
где — значения функции U(x, y, z) в точках A и B соответственно. Таким образом работа рассматриваемой нами силы не зависит от траектории точки, а определяется только значениями функции U в начале и в конце траектории. Такая сила называется консервативной силой, а соответствующая ей функция U(x, y, z) — силовой функцией. Очевидно, что , а так же равенство нулю работы консервативной силы при движении по замкнутой траектории. Говорят так же, что функция U(x, y, z) задает в пространстве силовое поле.
Потенциальной энергией точки, в пространстве с заданным силовым полем, называют работу внешних сил, приложенных к ней, которую они совершают при перемещении точки в заданное координатами (x, y, z) положение в пространстве из некоторого произвольного положения, выбранного в качестве начала отсчета уровня потенциальной энергии.
Выберем на рассмотренной ранее траектории точки произвольную точку O, лежащую между точками A и B. Положим, что в точке О потенциальная энергия равна нулю. Тогда, согласно определению
— потенциальная энергия точки в положении A, а — потенциальная энергия точки в положении B. Учитывая всё вышесказанное снова вычислим работу потенциальных сил на перемещении из точки A в точку B Таким образом, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии точки, взятому с обратным знаком причем выбор уровня, на котором мы считаем потенциальную энергию равной нулю совершенно не влияет на результат. Отсюда можно сделать вывод, что уровень отсчета потенциальной энергии можно выбрать совершенно произвольно.

3. Понятие о вариациях обобщенных координат. Постановка вариационной задачи

Итак, рассмотрим теперь механическую систему, движущуюся под действием потенциальных сил, положение которой однозначно задается вектором обобщенных координат
где s — число степеней свободы данной системы.

Действительный, но неизвестный пока нам, закон движения данной системы определяется зависимость обобщенных координат (4) от времени.

Рассмотрим одну из обобщенных координат , полагая аналогичные рассуждения и для всех остальных координат.

Рисунок 1. Действительное и окольное движение механической системы

На рисунке зависимость изображена красной кривой. Выберем два произвольных фиксированных момента времени t1 и t2, полагая t2 > t1. Положение системы договоримся называть начальным положением системы, а — конечным положением системы.

Однако, я ещё раз настаиваю на том, чтобы нижеследующий текст был прочтен внимательно! Несмотря на то, что мы задаемся начальным и конечным положением системы, ни первое положение, ни второе, нам заранее неизвестны! Равно как и неизвестен закон движения системы! Эти положения рассматриваются именно как начальное и конечное положение, безотносительно конкретных значений.

Далее мы полагаем, что из начального положения в конечное система может придти разными путями, то есть зависимость может быть любой кинематически возможной.

Действительное движение системы будет существовать в единственном варианте (красная кривая), остальные кинематически возможные варианты будем называть окольными движениями (синяя кривая на рисунке).

Разность между действительным и окольным движением

будем называть изохронными вариациями обобщенных координат

В данном контексте вариации (5) следует понимать как бесконечно малые функции, выражающие отклонение окольного движения от действительного. Малая «дельта» для обозначения выбрана не случайно и подчеркивает принципиальное отличие вариации от дифференциала функции.

Дифференциал — главная линейная часть приращения функции, вызванного приращением аргумента. В случае с вариацией изменение значения функции при постоянном значении аргумента вызвано изменением вида самой функции! Мы не варьируем аргумент, в роли которого выступает время, поэтому вариация называется изохронной.

Мы варьируем правило по которому каждому значению времени приводится в соответствие некоторое значение обобщенных координат!

По сути, мы варьируем закон движения, по которому система из начального состояния перемещается в конечное состояние. Начальное и конечное состояние определяются действительным законом движения, но я ещё раз подчеркиваю — их конкретные значения нам не известны и могут быть любыми кинематически возможными, мы лишь полагаем, что они существуют и система гарантированно перемещается из одного положения в другое! В начальном и конечном положении системы мы не варьируем закон движения, поэтому вариации обобщенных координат в начальном и конечном положении равны нулю Исходя из принципа наименьшего действия, действительное движение системы должно быть таким, чтобы доставлять минимум функционалу действия. Варьирование координат вызывает изменение функционала действия. Необходимым условием достижения функционалом действия экстремального значения является равенство нулю его вариации

4. Решение вариационной задачи. Уравнения Лагранжа 2-го рода

Решим поставленную нами вариационную задачу, для чего вычислим полную вариацию функционала действия и приравняем её к нулю Загоним всё под один интеграл, и так как для вариаций справедливы все операции над бесконечно малыми величинами, преобразуем этот крокодил к виду Исходя из определения обобщенной скорости Тогда выражение (8) преобразуется к виду Второе слагаемое интегрируется по частям Исходя из условия (7), имеем тогда, получаем уравнение При произвольных пределах интегрирования равенство нулю определенного интеграла обеспечивается равенством нулю подынтегральной функции С учетом того, что вариации обобщенных координат независимы, (11) справедливо только в случае равенства нулю всех коэффициентов при вариациях, то есть Никто не мешает нам умножить каждое из уравнений на (-1) и получить более привычную запись

Уравнения (12) и есть решение задачи. И вот на этом моменте ещё раз внимание — решение вариационной задачи по принципу наименьшего действия, это не функция, доставляющая минимум действию по Гамильтону, а система дифференциальных уравнений, решая которое таковую функцию можно найти. В данном случае это дифференциальное уравнение Лагранжа 2-го рода, записанное через функцию Лагранжа, то есть в формулировке для консервативных механических систем.

И всё, на этом принцип наименьшего действия заканчивается, а начинается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, в частности, гласит, что решением уравнения (12) является вектор-функция вида

где C1,…,C2s — произвольные константы интегрирования. Таким образом ПНД — фундаментальный принцип, позволяющий получить уравнения движения системы, для которой определена функция Лагранжа
Точка! В задачах аналитической механики вышеперечисленные выкладки больше не нужно проделывать, достаточно использовать их результат (12). Функция, удовлетворяющая уравнению (12) есть закон движения системы, удовлетворяющей ПНД.

5. Задача с шариком и стенкой

Теперь вернемся к той задаче, с которой всё началось — об одномерном движении шарика около абсолютно упругой стенки. Разумеется, для данной задачи можно получить дифференциальные уравнения движения.

Так как это дифференциальные уравнения движения, то любое, я подчеркиваю это, любое их решение доставляет минимум функционалу действия, а значит ПНД выполняется! Общее решение уравнений движения шарика можно изобразить в виде так называемого фазового портрета рассматриваемой механической системы.

Вот этот фазовый портрет
Рисунок 2. Фазовый портрет системы в задаче с шариком По горизонтальной оси откладывается координата шарика, по вертикальной — проекция скорости на ось x.

Может это покажется странным, но данный чертеж отражает все возможные фазовые траектории движения шарика, при любых начальных, или если вам так хочется, краевых условиях. На самом деле параллельных прямых на графике бесконечно много, на чертеже показаны некоторые из них и направление движения по фазовой траектории.

Это — общее решение уравнения движения шарика. Каждая из этих фазовых траекторий доставляет минимум функционалу действия, что непосредственно следует из выкладок, проделанных выше.

Что делает автор задачи? Он говорит: вот шарик покоится, и за промежуток времени от tA до tB действие равно нулю.

Если шарик толкнуть к стенке, то за тот же промежуток времени действие будет больше, так как у шарика отличная от нуля и неизменная кинетическая энергия. Но почему шарик движется к стенке, ведь в покое действие будет меньше? Значит ПНД испытвает проблемы и не работает! Но мы обязательно решим это в следующей статье.

То что говорит автор — бред.

Почему? Да потому, что он сравнивает действия на различных ветвях одной и той же действительной фазовой траектории! Между тем, при применении ПНД, сравнивается действие на действительной траектории и на множестве окольных траекторий. То есть происходит сравнение действия на реальной траектории с действием на тех траекториях, которых нет в природе, и никогда не будет!

Не понятно? Объясню ещё более доходчиво. Рассмотрим состояние покоя. Оно описывается ветвью фазового портрета, совпадающего с осью абсцисс. Координата не меняется с течением времени. Это действительное движение. А какое же движение будет окольным. Любое другое кинематически возможное. Например малые колебания шарика около рассматриваемого нами положения покоя. Задача допускает колебания шарика вдоль оси х? Допускает, значит такое движение кинематически возможно и может рассматриваться как одно их окольных

Почему же шарик таки покоится? Да потому, что действие в состоянии покоя, вычисленное на фиксированном промежутке времени от tA до tB, будет меньше действия, при малых колебаниях на том же промежутке времени. Значит колебаниям и любому другому «шевелению» шарика природа предпочитает покой. В полном соответствии с ПНД.

Допустим мы толкнули шарик в сторону стенки. Пусть мы толкнули его как хочет автор, со скоростью, подобранной из краевых условий, так чтобы в момент времени tB шарик оказался в том же положении, откуда стартовал. Шарик, с постоянной скоростью долетит до стенки, упруго отскочит и вернется в начальное положение в момент времени tB, опять таки с постоянной скоростью.

Ок, это действительное движение. Какое движение будет одним из окольных? Например, если шарик будет двигаться к стенке и от стенки со скоростью, меняющейся со временем. Такое движение возможно кинематически? Возможно.

Почему же модуль скорости шарика не меняется? Да потому, что действие на такой фазовой траектории будет иметь минимальное значение, в сравнении с любом другим вариантом, где скорость зависит от времени.

Вот и всё. Ничего такого волшебного тут не происходит. ПНД работает безо всяких проблем.

Выводы и пожелания

ПНД — фундаментальный закон природы. Из него, в частности, вытекают законы механики, например дифференциальные уравнения движения (12). ПНД говорит нам о том, что природа устроена так, что уравнение движения консервативной механической системы выглядит именно как выражение (12) и никак иначе. Большего от него и не требуется.

Не нужно придумывать проблем там где их нет.

Источник: https://habr.com/post/425771/

3.1. Аналитическое определение положений, скоростей и ускорений звеньев манипулятора — Модуль 2

Выводы: 1. Получено аналитическое выражение для определения времени движения

Для инновационного развития всех сфер робототехники необходимы молодые специалисты, способные креативно мыслить, разрабатывать, проектировать, внедрять и эксплуатировать сложные системы интеллектуального управления и роботизированные комплексы.

Курс «Инновации в промышленности: мехатроника и робототехника» рассчитан на студентов технических специальностей, а также тех, кто интересуется робототехникой.Мехатроника и робототехника охватывает очень широкий круг вопросов, и одному человеку трудно охватить и глубоко изучить все области исследования роботов.

Данный курс поможет слушателям сориентироваться и выбрать для дальнейшей своей работы конкретное направление:изучение структуры и кинематики роботов, приводы роботов, управление и программирование, организация современного высокоэффективного роботизированного производства, применение систем автоматизированного проектирования изготовления деталей на станках с ЧПУ и технологической подготовки производства и др. Слушатели должны иметь знания по физике и математике в объеме школьной программы.Умение ориентироваться в математических и физических терминах, умение читать формулы, знание базовых физических единиц и их обозначений, понимание основ механики поможет слушателям успешно пройти данный курс. Курс состоит из 6 модулей. Каждая модуль курса содержит видеолекции, в конце каждой лекции – тестовые вопросы для самопроверки своих знаний.Каждый модуль заканчивается выполнением тестового задания из 10 вопросов. Это задание является важным для прохождения курса. Слушателю необходимо правильно ответить не менее чем на 7 из 10 вопросов. Сертификат получают слушатели, набравшие от 70 % и выше от максимально возможного количества баллов (100 %) за весь курс. При этом итоговый результат складывается из результатов тестовых заданий по всем модулям. Сертификат о прохождении данного курса дает дополнительные баллы при поступлении в магистратуру Национального исследовательского Томского государственного университета. Перечень магистерских программ находится по ссылке: https://pro-online.tsu.ru/edu/student/table.php The course «Innovations in industry: mechatronics and robotics» may be interesting for students of engineering specialties who will learn to apply their knowledge in a new area. Mechatronics and Robotics covers a wide range of issues, and it is difficult for one person to reach deep and explore all areas of robot research. This course will help students to navigate and choose the specific direction for their further work:the structure and kinematics of robots, robot actuators, control and programming, the organization of modern highly robotized production, the use of CAD/CAM systems, manufacturing of parts on CNC machines and technological preparation of production.

Просмотреть программу курса

Модуль посвящен знакомству с конструкциями манипуляторов промышленных роботов, захватных устройств и приводов. В качестве примера подробно рассматривается структура и исполнительные приводы робота «Робин РСС-1 Сфера».

Завершается модуль темой по аналитическому определению кинематических характеристик манипулятора.

В конце каждой лекции модуля слушателям предлагается проверить знания, отвечая на вопросы (без оценивания), а по завершению модуля – выполнить тестовое задание из 10 вопросов.

Попробуйте курс за Бесплатно

[МУЗЫКА] Добрый день, уважаемые слушатели. Сегодня мы рассмотрим кинематическое исследование механизмов. Кинематическое исследование механизмов, т.е.

изучение движения звеньев механизмов без учета сил, обуславливающих это движение, состоит в основном в решении трех задач: это определение перемещения звеньев и траекторий, описываемых точками звеньев; определение скоростей отдельных точек звеньев и угловых скоростей звеньев; определение ускорений отдельных точек звеньев и угловых ускорений звеньев.

Для решения перечисленных задач могут быть использованы следующие методы: графический, графоаналитический, аналитический и экспериментальный. Рассмотрим аналитический метод кинематического анализа. Этот метод позволяет получить точное решение благодаря использованию компьютерной техники и современных вычислительных технологий.

Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости и решать систему нескольких дифференциальных уравнений, которые содержат тригонометрические функции, в том числе и обратные. Введем сначала несколько основных понятий и определений.

Функцией положения ведомого звена (или точки на нем) называется зависимость перемещения от перемещения ведущего звена или, еще говорят, от обобщенных координат механизма. Вид функции положения зависит от схемы механизма, а значения постоянных, которые входят в нее — от размерных параметров механизма.

Для того чтобы составить функцию положения механизма, следует рассмотреть фигуру, которую образуют оси его звеньев. Из геометрических свойств этой фигуры находят искомую зависимость. При кинематическом исследовании механизма скорости и ускорения ведомых звеньев часто удобно выражать функцией поворота φ или перемещения S ведущего звена.

Если для некоторого звена механизма (k-го звена) φk есть функция φk от φ, то угловая скорость этого звена может быть определена по следующей зависимости: ωk выражается по формуле, которую вы видите на экране. Здесь ω — угловая скорость ведущего звена, а ωφ — безразмерная угловая скорость этого k-го звена, или ее еще называют «аналог угловой скорости».

Определим угловое ускорение этого k-го звена. εk может быть определено следующей зависимостью. Здесь ε — угловое ускорение ведущего звена, а εφ — аналог углового ускорения k-го звена. Аналогично можно получить уравнения для скорости и ускорения какой-либо точки m звена. Пусть rm — радиус-вектор, описывающий положение точки m.

При вращательном движении ведущего звена vm можно определить как drm / dt или drm / dφ × dφ / dt, и это равно аналог скорости vφ, умноженный на угловую скорость ведущего звена.

При поступательном же движении ведущего звена скорость точки m — vm — может быть определена как drm / dt или drm / ds × ds / dt, что дальше можно преобразовать как аналог скорости vs, умноженный на скорость ведущего звена v. Здесь v — скорость ведущего звена, vφ — аналог скорости точки m, имеющий размерность длины, а vs — аналог скорости точки m, безразмерный.

Ускорение точки m am в общем случае состоит из четырех составляющих, которые вы знаете из курса физики: это нормальное ускорение, направленное вдоль радиус-вектора к его началу; тангенциальное ускорение, направленное перпендикулярно радиус-вектору rm; относительное релятивное ускорение, направленное вдоль радиус-вектора; и ускорение, направленное перпендикулярно к радиус-вектору.

В общем случае мы это можем представить следующей формулой, в которой aφ — это аналог ускорения точки m. В данном случае он имеет размерность длины. При кинематическом исследовании механизма, будем предполагать движение его ведущих звеньев равномерным. Ну а сейчас рассмотрим пример. Надо найти выражение для функции положения и аналога скорости точки B3 звена 3 тангенсного механизма.

Схему вы видите. Ведущее звено 1. Положение звена 1 определяется углом, а положение точки B3 — расстоянием SB3, при этом размер h известен. Звено 3 движется вдоль оси Y. Решение: функцию положения точки B3 находим из геометрической фигуры, которую образуют оси звеньев данного механизма. Пожалуйста, внимательно просмотрите схему.

SB3 может быть представлено как произведение h на тангенс φ1. При этом аналог скорости точки B3 определится как производное по углу φ1. Это будет h, делённое на квадрат косинуса угла φ1. Аналоги скорости ускорения для звеньев механизма и его характерных точек — это характеристические функции, зависящие от положения механизма, но не от времени.

Характеристические функции не зависят от закона движения начального механизма. Манипулятор робота — это характерный пример открытой незамкнутой кинематической цепи. Чтобы описать положение манипулятора, как правило, определяется положение системы отсчета, связанной с инструментом манипулятора, относительно системы отчета, связанной с неподвижным основанием манипулятора.

Основная задача, которую здесь приходится решать при изучении механической манипуляции, называется прямой задачей кинематики. Это статическая геометрическая задача вычисления положения и ориентации рабочего органа манипулятора.

В частности, при заданном наборе углов в сочленениях, прямая кинематическая задача состоит в вычислении положения и ориентации системы отчета инструмента относительно системы отчета основания. Рассмотрим прямую задачу о положениях звеньев. цель — найти координаты схвата точки C в неподвижной базовой системе координат, которая связана с основанием робота.

Существует много методов решения прямой задачи о положениях при известных управляющих воздействиях на звенья — так называемых законах движения — в каждой кинематической паре. Эти законы движения называются еще обобщенными координатами. Векторный метод, метод преобразования координат, матричный метод и другие методы могут использоваться при этом.

Рассмотрим метод преобразования координат для манипулятора, представленного на схеме. Введем неподвижную базовую систему координат OX0Y0Z0, связанную с основанием робота.

Манипулятор представленного робота имеет три степени подвижности: это вращательную подвижность с вертикальной осью на столе основания O, между основанием и звеном 1, вертикально-поступательную между звеньями 1 и 2 и вращательную с горизонтальной осью между звеньями 2 и 3 (в точке B). Схват закреплен на звене 3 (в точке C). Звенья 2 и 3 имеют постоянную длину l2 и l3.

Положение звена 1 определяется углом поворота φ во вращательной паре O. Положение звена 2 определяется перемещениями h в поступательной паре, углом поворота θ во вращательной паре B. Введем дополнительные системы координат. Итак, система координат BX4Y4Z4. Начало системы в кинематической паре B.

Ось Y4 направлена вдоль звена 3, ось X3 горизонтальна, соответствует оси вращения в кинематической паре. В этой системе координаты точки C определяются самым простым способом. XC4 равно 0, YC4 равно l3 (длине звена) и ZC4 равно 0. Следующая система координат связана с кинематической парой B. Это система BX3Y3Z3. Ось Y3 направлена вдоль звена 2.

Ось X3 горизонтальна и соответствует оси вращения в кинематической паре и получается поворотом системы координат X4Y4Z4 на угол θ. В этой системе координаты точки C определяются следующими зависимостями, или еще можно записать, что радиус-вектор точки C3 равен длине звена 4 3 на радиус-вектор точки C4. Здесь l34 и l43 — это операторы перехода из системы 3 в систему 4, и наоборот.

Следующая вспомогательная система координат помещена в точку A, это система AX2Y2Z2. Ось Y2 направлена вдоль звена 2, ось X2 горизонтальна, параллельна оси вращения в кинематической паре B и получается параллельным переносом системы X3Y3Z3 в точку A, т.е. сдвиг на величину l2. В этой системе находим координаты точки C. Здесь l23 и l32 — операторы перехода из системы 2 в систему 3, и наоборот. Следующая система координат: OX1Y1Z1, начало системы в кинематической паре O. Ось Y1 направлена параллельно звену 2, ось X1 горизонтальна и параллельна оси вращения в кинематической паре B. Получается эта система параллельным переносом системы X2Y2Z2 в точку O, т.е. сдвиг по вертикали на величину h. И в этой системе мы находим координаты точки C и операторы перехода. В неподвижную же систему координат OX0Y0Z0 перейдем поворотом относительно оси Z на угол φ. Выражение для скоростей можно получить дифференцированием зависимости для координат. Для данного случая обобщенными координатами являются: q1 — так принято обозначать обобщенные координаты — это угол φ, q2 — это h, и q3 — это угол θ. Функции оператора перехода предлагаем получить самостоятельно, используя правила работы с матрицами. Следующую задачу предлагается решить самостоятельно. В этой задаче вам предлагается определить число степеней свободы манипулятора, найти зависимости для положения и скорости точки C — схвата манипулятора. Длины звеньев A и B, углы, определяющие положение звеньев, линейную скорость v и угловые скорости ω1 и ω2 считать известными. Ну что же, желаю успешно справиться с задачей, правильно ответить на вопросы, представленные на сайте. В следующей лекции мы рассмотрим другие методы кинематических расчетов. До встречи. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]

Источник: https://ru.coursera.org/lecture/innovations-in-industry-robotics/3-1-analitichieskoie-opriedielieniie-polozhienii-skorostiei-i-uskorienii-zvien-z80Pb

Scicenter1
Добавить комментарий